разложение arctg в степенной ряд

[achernecova]

Здравствуйте!
Подскажите как решить задачку: разложить в степенной ряд и определить область сходимости
$f(x)=\arctg((2-2x)/(1+4x))$

Необходимо сначала продифференцировать.
$(\arctg((2-2x)/(1+4x)))'= 1/(1+ (2-2x)^2/(1+4x)^2) = (1+4x)^2 /(1+4x)^2+(2-2x)^2$

Вот тут вопрос - а что с этим делать дальше?

[bot]

Кто же так дифференцирует?

[svv]

achernecova
Запомните. Всякий раз, когда внутри функции $\arctg, \ln, \sin$, а также квадратного корня, квадрата, куба и так далее у Вас стоит не просто независимая переменная $x$, а что-то другое, Вы должны пользоваться правилом. Запомните! Вот оно:
умножить на производную того, что внутри!

Вот написали Вы
$(\left\arctg(\frac{2-2x}{1+4x})\right)'= \frac 1{1+ \left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)^2}$
и тут же вспоминаете:
умножить на производную того, что внутри!
то есть на $\left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)'$

Не забывайте умножить на производную того, что внутри!.

[achernecova]

svv в сообщении #732445 писал(а):

achernecova
Запомните. Всякий раз, когда внутри функции $\arctg, \ln, \sin$, а также квадратного корня, квадрата, куба и так далее у Вас стоит не просто независимая переменная $x$, а что-то другое, Вы должны пользоваться правилом. Запомните! Вот оно:
умножить на производную того, что внутри!

Вот написали Вы
$(\left\arctg(\frac{2-2x}{1+4x})\right)'= \frac 1{1+ \left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)^2}$
и тут же вспоминаете:
умножить на производную того, что внутри!
то есть на $\left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)'$

Не забывайте умножить на производную того, что внутри!.

спасибо за исправление. получилось следующее:
$(\arctg \frac{2-2x}{1+4x})' = \frac {1}{1+(\frac{2-2x}{1+4x})^2} \cdot (\frac{2-2x}{1-4x})'=\frac {-10(1+4x)^2}{((2-2x)^2 + (1+4x)^2)\cdot(1+4x)^2} = \frac {-10(1+4x)^2}{(4-8x+4x^2+1+8x+16x^2)(1+4x)^2}=\frac{-2}{4x^2 +1}$

А что с этим дальше делать?

[bot]

Вернуться к дифференцированию.

[Legioner93]

achernecova в сообщении #732840 писал(а):

А что с этим дальше делать?

Разложить в ряд $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$, после чего интегрировать.

bot в сообщении #732842 писал(а):

Вернуться к дифференцированию.

Вроде же правильно найдена производная?

[svv]

Legioner93 в сообщении #732860 писал(а):

Вроде же правильно найдена производная?

Правильно. А какие могут быть сомнения, при живом-то Вольфраме свет Альфовиче?

[bot]

Legioner93 в сообщении #732860 писал(а):

Вроде же правильно найдена производная?

В самом деле что ли? Да, сейчас проверил - верно.

(Оффтоп)

Я тогда просто глянул, что получится, если взад проинтегрировать и не поверил в тождество, которое отсюда вытекает.

[ИСН]

(Оффтоп)

Арктангенсы - они такие.

[bot]

(Оффтоп)

Дык ведь знал же и всё равно не поверил.