2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 разложение arctg в степенной ряд
Сообщение04.06.2013, 13:27 
Здравствуйте!
Подскажите как решить задачку: разложить в степенной ряд и определить область сходимости
$f(x)=\arctg((2-2x)/(1+4x))$

Необходимо сначала продифференцировать.
$(\arctg((2-2x)/(1+4x)))'= 1/(1+ (2-2x)^2/(1+4x)^2) = (1+4x)^2 /(1+4x)^2+(2-2x)^2$

Вот тут вопрос - а что с этим делать дальше?

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение04.06.2013, 13:34 
Аватара пользователя
Кто же так дифференцирует? :shock:

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение04.06.2013, 14:48 
Аватара пользователя
achernecova
Запомните. Всякий раз, когда внутри функции $\arctg, \ln, \sin$, а также квадратного корня, квадрата, куба и так далее у Вас стоит не просто независимая переменная $x$, а что-то другое, Вы должны пользоваться правилом. Запомните! Вот оно:
умножить на производную того, что внутри!

Вот написали Вы
$(\left\arctg(\frac{2-2x}{1+4x})\right)'= \frac 1{1+ \left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)^2}$
и тут же вспоминаете:
умножить на производную того, что внутри!
то есть на $\left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)'$

Не забывайте умножить на производную того, что внутри!.

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение05.06.2013, 09:53 
svv в сообщении #732445 писал(а):
achernecova
Запомните. Всякий раз, когда внутри функции $\arctg, \ln, \sin$, а также квадратного корня, квадрата, куба и так далее у Вас стоит не просто независимая переменная $x$, а что-то другое, Вы должны пользоваться правилом. Запомните! Вот оно:
умножить на производную того, что внутри!

Вот написали Вы
$(\left\arctg(\frac{2-2x}{1+4x})\right)'= \frac 1{1+ \left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)^2}$
и тут же вспоминаете:
умножить на производную того, что внутри!
то есть на $\left(\frac{2-2x}{1+4x}\right)'$

Не забывайте умножить на производную того, что внутри!.



спасибо за исправление. получилось следующее:
$(\arctg \frac{2-2x}{1+4x})' = \frac {1}{1+(\frac{2-2x}{1+4x})^2} \cdot (\frac{2-2x}{1-4x})'=\frac {-10(1+4x)^2}{((2-2x)^2 + (1+4x)^2)\cdot(1+4x)^2} = \frac {-10(1+4x)^2}{(4-8x+4x^2+1+8x+16x^2)(1+4x)^2}=\frac{-2}{4x^2 +1}$

А что с этим дальше делать?

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение05.06.2013, 09:57 
Аватара пользователя
Вернуться к дифференцированию.

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение05.06.2013, 10:53 
Аватара пользователя
achernecova в сообщении #732840 писал(а):
А что с этим дальше делать?

Разложить в ряд $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$, после чего интегрировать.
bot в сообщении #732842 писал(а):
Вернуться к дифференцированию.

Вроде же правильно найдена производная?

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение05.06.2013, 12:49 
Аватара пользователя
Legioner93 в сообщении #732860 писал(а):
Вроде же правильно найдена производная?
Правильно. А какие могут быть сомнения, при живом-то Вольфраме свет Альфовиче?

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение05.06.2013, 18:02 
Аватара пользователя
Legioner93 в сообщении #732860 писал(а):
Вроде же правильно найдена производная?

В самом деле что ли? Да, сейчас проверил - верно.

(Оффтоп)

Я тогда просто глянул, что получится, если взад проинтегрировать и не поверил в тождество, которое отсюда вытекает.

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение05.06.2013, 18:42 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Арктангенсы - они такие.

 
 
 
 Re: разложение arctg в степенной ряд
Сообщение05.06.2013, 19:41 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Дык ведь знал же и всё равно не поверил. :facepalm:

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group