Плоскость и линейное преобразование

[Nikys]

Пытаюсь вот разобраться, но не до конца понимаю, что нужно делать. Проскуряков, Сборник задач по линейное алгебре, №1549.

Написать уравнение плоскости, инвариантной относительно линейного преобразования $\varphi$, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

$\begin{pmatrix} 4 & -23 & 17 \\ 11 & -43 & 30 \\ 15 & -54 & 37 \end{pmatrix}$.

Значительно ещё влияет некоторый заплыв в теории в последнее время. Не могли бы мне помочь с некоторым разъяснением, почему так?

Если я правильно понимаю, для начала нужно найти ортогональное преобразование. А что, собственно, дальше? Я немного не стыкался с таким типом задач. Я понимаю, что тут не по общей схеме, а на понимане, а потому и прошу помочь. Заранее спасибо.

[provincialka]

А может, просто написать уравнение произвольной плоскости и посмотреть, во что оно превратится после преобразования? И сравнить две записи.

[Otta]

Nikys
А не напомните ли, что такое инвариантное что-то там относительно какого-то преобразования?

[Nikys]

Otta
если я правильно помню, подпространство инвариантно относительно преобразования, если преобразование не выводит его из этого подпространства.
provincialka
немного недопонял вас.

[Otta]

Давайте по-простому, как Вы понимаете. Что должно произойти с плоскостью?

[Nikys]

Otta
что-то вроде параллельного переноса?

[Otta]

Nikys в сообщении #732784 писал(а):

что-то вроде паралельного переноса?

Вот и не угадали.
А Вы собственное определение прочитайте, осознайте, картинку нарисуйте (любую плоскость, потом ее же преобразованную и "не выведенную"), вот тогда и скажете, что такое инвариантны.
А то как-то не умея плавать в Днепр суетесь. Сперва определения.

[Nikys]

Otta
ну, если подумать, я так понимаю, ничего с плоскостью не поменяется: после преобразования она должна перейти в себя.
Правильно ли я понимаю, что если, к примеру, есть преобразование поворота на угол относительно прямой в трехмерном пространстве, то инвариантом к нему есть плоскость, к которой эта прямая перпендикулярна?
Или опять мимо?

[Otta]

Nikys в сообщении #732789 писал(а):

после преобразования она должна перейти в себя.

Верно.

Nikys в сообщении #732789 писал(а):

есть преобразование поворота на угол относительно прямой в трехмерном пространстве, то инвариантом к нему есть плоскость, к которой эта прямая перпендикулярна?

Вернее будет сказать, что относительно такого преобразования всякая перпендикулярная Вашей прямой плоскость инвариантна.

Но это Вам немного дает. Она может быть инвариантна и относительно других преобразований, например, преобразования, "переворачивающего" плоскость относительно любой прямой в этой плоскости лежащей.

Поэтому займитесь следующим вопросом. Как видно из определения, речь должна идти о подпространствах. Всякая ли плоскость является подпространством?

[Nikys]

Долго думал, где подвох... Допустим, всякая. Если следовать из определения подпространства, то, в принципе, имея уравнение вида $F(x,y,z) = 0$, которое задает плоскость, то две плоскости, умноженные на некоторое действительное число, зададут ту же плоскость.

[Otta]

Напишите общее уравнение плоскости в $\mathbb R^3$, например. Как оно выглядит?
Напишите и проверьте. Не надо "допустим."