тензор скоростей деформаций

[Oleg Zubelevich]

Простая задача по тензорам.

В учебнике Седова по механике сплошной среды тензор скоростей деформаций определяется следующим образом:

$$e_{ij}=\frac{1}{2}(\nabla_i v_j+\nabla_j v_i)$$

где ковариантные производные определяются по метрике актуального состояния $g_{ij}$ а $v_i$ -- ковариантные компоненты поля скоростей сплошной среды.

Задача. Доказать, что $e_{ij}=L_v g_{ij}$, где $L_v$ -- производная Ли. Т.е. вычислять символы Крисоффеля на самом деле не надо.

[scwec]

Посмотрел в учебник Л.И. Седова 1970. По-моему, у него это равенство, которое надо доказать, имеется на стр.97 под номером $(6.4)$. Нет?
Правда, почему-то дальше следует сразу $(6.6)$. Но вообще-то мне стиль его изложение нравится. Не хочется портить его излишними математическими выкрутасами. Там всё очень достойно.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #733034 писал(а):

По-моему, у него это равенство, которое надо доказать, имеется на стр.97 под номером $(6.4)$

конечно, только, какой смысл в этой формуле имеет значек $\frac{d}{dt}$ еще надо долго и аккуратно объяснять, и я не думаю, что студент поймет , что на самом деле речь там идет о совершенно стандартном объекте -- производной Ли
Причем "вывод" формулы (6.4), который там выше имеется, пониманию не способствует имхо.

у меня к книжке Седова отношение сложное. С одной стороны, текст явно написан на физическом уровне строгости, С другой стороны, учебник совершенно уникальный и тем, что последовательно написан на тензорном языке, и тем, что дан общий подход к различным разделам механики сплошной среды. Я одно время пытался найте аналоги этой книжки -- не нашел ни на русском ни на английском. Если бы нашелся Арнольд ,который написал бы такого типа учебник в нормальных современных терминах и на нормальном уровне строгости (не исключено, что в такой версии он стал бы короче раза в полтора) то было бы здорово. Конечно, это моя частная точка зрения.

[scwec]

Вот необходимые формулы.
$v^s$ - контравариантные компоненты поля скоростей. $g_{ij}$ - метрический тензор. Тогда

$$L_v(g_{ij})=v^k\frac{\partial{g_{ij}}}{\partial{x^k}}+g_{ik}\frac{\partial{v^k}}{\partial{x^j}}+g_{jk}\frac{\partial{v^k}}{\partial{x^i}}=g_{ik}\nabla_j{v^k}+g_{jk}\nabla_i{v^k}=\nabla_j{v_i}+\nabla_i{v_j}$$

где $v_s$ - ковариантные компоненты поля скоростей. (Использовалось то, что $\nabla_k{g_{ij}}=0$ в любой комбинации $i,j,k$).
Кстати, уравнения Киллинга для полей, сохраняющих метрику $\nabla_j{v_i}+\nabla_i{v_j}=0$.