Простой частный случай, когда параметр натуральный. Его лучше обозначать

, а производные по нему -- штрихом.
Единичные векторы касательной, нормали и бинормали обозначим

. Основной инструмент для дифференцирования -- формулы Френе:



Результат запишем в виде матрицы:

Это коэффициенты разложения производных

до четвертого порядка по базисным векторам ортонормированного репера Френе.
Столбцы соответствуют

.
Строки соответствуют базисным векторам

.
Например, третий столбец означает, что

.
Матрицу эту можно получить либо тупым дифференцированием, либо чуть хитрее (если нужно, расскажу).
Теперь надо взять второй, третий и четвертый столбцы и записать их в виде определителя, что и даст нужное смешанное произведение через компоненты в базисе Френе:

Чтобы

было определено, необходимо

. В таком случае равенство смешанного произведения нулю эквивалентно

.