Обобщенные винтовые линии (дифгем)

[kirill94]

Здравствуйте! Вот не могу никак решить задачу:

Доказать, что кривая являеся обобщенной винтовой тогда и только тогда, когда смешанное произведение

$$\langle \ddot{r} ,\dddot{r}, \ddddot{r} \rangle $$

равно нулю, где $\vec{r} = \vec{r}(t)$ — наша кривая.

Уже попробовал воспользоваться и тем, что отношение кривизны к кручению постоянно, и тем, что вектор скорости такой линии составляет постоянный угол с фиксированным направлением, ничего не выходит. Спасибо.

[svv]

А что такое обобщённая винтовая линия?

[kirill94]

Линия называется обобщенной винтовой, если отношение ее кручения к ее кривизне постоянно. Эквивалентно: если вектор скорости этой кривой составляет постоянный угол с некоторым направлением. Эквивалентно: если вектор нормали перпендикулярен некоторому направлению.

[kirill94]

Upd: в одну сторону (обобщенная винтовая -> смешанное произведение равно нулю) доказать удалось тупой нудной выкладкой на пару страниц. Если кто-то знает, в чём тут великая сермяжная правда - напишите, пожалуйста (не покидает меня мысль о том, что есть красивое короткое объяснение).

[svv]

Простой частный случай, когда параметр натуральный. Его лучше обозначать $s$, а производные по нему -- штрихом.

Единичные векторы касательной, нормали и бинормали обозначим $\mathbf v, \mathbf n, \mathbf b$. Основной инструмент для дифференцирования -- формулы Френе:
$\mathbf v'=k\mathbf n$
$\mathbf n'=\varkappa \mathbf b-k\mathbf v$
$\mathbf b'=-\varkappa \mathbf n$

Результат запишем в виде матрицы:
$\begin{bmatrix}1&0&-k^2&-3kk'\\0&k&k'&k''-k^3-k\varkappa^2\\0&0&k\varkappa&2k'\varkappa+k\varkappa'\end{bmatrix}$
Это коэффициенты разложения производных $\mathbf r$ до четвертого порядка по базисным векторам ортонормированного репера Френе.
Столбцы соответствуют $\mathbf r', \mathbf r'', \mathbf r''', \mathbf r''''$.
Строки соответствуют базисным векторам $\mathbf v, \mathbf n, \mathbf b$.
Например, третий столбец означает, что $\mathbf r'''=-k^2\mathbf v+k'\mathbf n+k\varkappa\mathbf b$.
Матрицу эту можно получить либо тупым дифференцированием, либо чуть хитрее (если нужно, расскажу).

Теперь надо взять второй, третий и четвертый столбцы и записать их в виде определителя, что и даст нужное смешанное произведение через компоненты в базисе Френе:
$\langle \mathbf r'', \mathbf r''', \mathbf r''''\rangle =\begin{vmatrix}0&-k^2&-3kk'\\k&k'&k''-k^3-k\varkappa^2\\0&k\varkappa&2k'\varkappa+k\varkappa'\end{vmatrix}=k^3(\varkappa'k-\varkappa k')=k^5\left(\frac{\varkappa}{k}\right)'$
Чтобы $\varkappa$ было определено, необходимо $k\neq 0$. В таком случае равенство смешанного произведения нулю эквивалентно $\frac{\varkappa}{k}=\operatorname{const}$.

[kirill94]

svv
Спасибо, я всё так и делал, просто решение получилось довольно скучное: одни выкладки. Я думал, может это следует легче из каких-нибудь геометрических соображений, но всё равно спасибо за проделанную работу.