просветите про скалярное произведение и метрический тензор

[Утундрий]

Theoristos в сообщении #731780 писал(а):

есть объект "вектор", а есть его "компоненты". Это несколько разные вещи.

Есть водонапорная башня, а есть кирпичи. Это несколько разные вещи.

[warlock66613]

Утундрий, ваше сравнение некорректно. Если есть башня, то обязательно есть кирпичи. Если есть вектор - компонентов может не быть.

[iifat]

Утундрий в сообщении #731812 писал(а):

Есть водонапорная башня, а есть кирпичи

Что-то я таких терминов из курса линейной алгебры не помню. Видимо, начало склероза.
Хотя, конечно, попытка изложить в форуме линейную алгебру и начала тензорного исчисления — смело и благородно, но скорее из области юмора...

warlock66613 в сообщении #731814 писал(а):

Если есть вектор - компонентов может не быть

Эээ... Не поясните? Линейное пространство без базиса?

[warlock66613]

iifat в сообщении #731819 писал(а):

Линейное пространство без базиса?

Где вы в определении линейного пространства нашли упоминание и требование наличия базиса?

-- 03.06.2013, 03:39 --

Кстати, базис может быть несчётным? Если нет - то получается, что гильбертово пространство может быть таким, что базис вообще нельзя ввести, так ведь?

[iifat]

warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):

Где вы в определении линейного пространства нашли упоминание и требование наличия базиса?

Ну, упоминания и требования наличия в произвольном поле двойки тоже нигде не пишут. Однако $1+1=2$. Ну, за редкими исключениями.

warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):

Кстати, базис может быть несчётным?

Раз нигде не требуется базис, то и счётным его никто быть не обяжет, нет?
Впрочем, таки да, уели. Бывают линейные пространства без базиса. Хотя, как понимаю, ТС интересуется не этим случаем.

[ewert]

warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):

iifat в сообщении #731819 писал(а):

Линейное пространство без базиса?

Где вы в определении линейного пространства нашли упоминание и требование наличия базиса?

Его нет. Т.е. линейное пространство само по себе наличия базиса не предполагает. Но если базис вводится, то обязательно одновременно с координатами. Или буквально одновременно, или через пару фраз, но с неизбежностью.

warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):

Кстати, базис может быть несчётным? Если нет - то получается, что гильбертово пространство может быть таким, что базис вообще нельзя ввести, так ведь?

В гильбертовом пространстве базис можно ввести тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Имеется в виду, конечно, базис в том смысле, в котором он хоть сколько-то полезен для гильбертовости.

[illuminates]

Theoristos в сообщении #731780 писал(а):

Но можно ввести другой базис $\vec{B}_i$, такой что отдельный вектор $\vec{B}_i$ будет перпендикулярен остальным $\vec{A}_i$, a при одинаковых индексах скалярное произведение равно 1: $\vec{A}_i \cdot\vec{B}_j==\delta_{iо}$

спасибо за доходчивое объяснение но меня хватило до строчки.

вот смотрите:

у меня сивол кронекера выполняется для $(e_1^Ae_1^B)=1 $ $(e_2^Ae_2^B)=1 $ но на этом всё. ведь $(e_1^Ae_2^B)\neq0$ следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #731856 писал(а):

В гильбертовом пространстве базис можно ввести тогда и только тогда, когда оно сепарабельно

очередная глупость. см. Иосида Функциональный анализ, раздел: "Ортогональный базис. Неравенство Бесселя..."

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #731913 писал(а):

очередная глупость.

Пожалуйста. Приведите пример сепарабельного гильбертова пространства, в котором нельзя ввести ортогонального базиса. Или пример несепарабельного пространства, в котором можно ввести базис. Или и то, и другое -- как хотите.

[Oleg Zubelevich]

Теорема [Иосида Функциональный анализ, раздел: "Ортогональный базис. Неравенство Бесселя..."]. В любом (не нульмерном) гильбертовом пространстве существует ортогональный базис.

[ewert]

ewert в сообщении #731856 писал(а):

Имеется в виду, конечно, базис в том смысле, в котором он хоть сколько-то полезен для гильбертовости.

Читать тоже полезно уметь. Несчётный базис ввести, конечно, можно, но с его помощью ничего невозможно посчитать.

[illuminates]

Theoristos
чего то картинка не вставилась, повторим:

Theoristos в сообщении #731780 писал(а):

о можно ввести другой базис $\vec{B}_i$, такой что отдельный вектор $\vec{B}_i$ будет перпендикулярен остальным $\vec{A}_i$, a при одинаковых индексах скалярное произведение равно 1: $\vec{A}_i \cdot\vec{B}_j==\delta_{iо}$.

спасибо за доходчивое объяснение но меня хватило до этой строчки.

вот смотрите:

(случай двухмерия)

у меня сивол кронекера выполняется для
$(e_1^Ae_2^B)=0 $
$(e_2^Ae_1^B)=0 $
но на этом всё. ведь
$(e_1^Ae_1^B)\neq1$
$(e_2^Ae_2^B)\neq1$
следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу? в чем шутка?

-- 03.06.2013, 14:45 --

Theoristos

и к сожалению самого важного я не понял.
1) вы говорите что у нас не ортогональный базис.
2) в нём у нас два вектора x и у.
3) разложить на компоненты их незя следовательно незя произвести операцию скалярного произведения.
4) но по не понятным мне причинам вы все равно раскладываете х: $\vec{x}=\Sigma x_{(A)i} \vec{A}_i$
5) далее раскладываете у в новом базисе $\vec{y}=\Sigma y_{(B)j} \vec{B}_j$

я чего то не пойму.
почему нельзя рассуждать так:
1) у нас не ортогональный базис.
2) в нём у нас два вектора x и у.
3) разложить на компоненты их незя следовательно незя произвести операцию скалярного произведения.
4) Поэтому мы строим новый, ортогональный базис с началом координат в старом и раскладываем вектора x и у в нём следовательно здесь же производим операцию скалярного произведения.
5) возвращаемся с помощью метрического тензора в исходный, кривой базис.

укажите пожалуйста где я ошибаюсь, или проясните свои слова в которых я вижу нелогичность. Спасибо!

Кстати вы промолчали про метрический тензор в своём сообщении.

[arseniiv]

illuminates в сообщении #731963 писал(а):

у меня сивол кронекера выполняется для
$(e_1^Ae_2^B)=0 $
$(e_2^Ae_1^B)=0 $
но на этом всё. ведь
$(e_1^Ae_1^B)\neq1$
$(e_2^Ae_2^B)\neq1$
следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу? в чем шутка?

А вы чего с такими элементами базисов хотели? Найдите, например, вектор $\mathbf a$ такой, что $\mathbf e_1^A \mathbf a = 1$ и $\mathbf e_2^A \mathbf a = 0$. Удивитесь, но таких в этом же векторном пространстве только два! Так же и со вторым нужным вектором. Хорошо ещё, что все четыре их сочетания образуют базис.

P. S. У вас на рисунке два $\mathbf e_2^B$ и ни одного $\mathbf e_1^B$. Не спешите так, будьте аккуратнее.

[illuminates]

то есть ещё раз конкретный вопрос:
почему мы вектор x раскладываем в кривом базисе, затем вектор у в новом кривом базисе, который перпендикулярен старому, а затем...?берём их скалярное произведение?

-- 03.06.2013, 15:02 --

посмотрел на ситуацию по другому.
у нас был базис $ e_1^Ae_2^B $ мы составили базис $ e_1^Be_2^B $
теперь из этих орт составим два ортогональных базиса:
$ e_1^Ae_1^B $ и $ e_2^Ae_2^B $
УРА!
Но подождите, тогда наши бедные вектора непонятно как раскладывать. У нас получилось два смешанных базиса. Разложения $\vec{x}=\Sigma x_{(A)i} \vec{A}_i$ и $\vec{y}=\Sigma y_{(B)j} \vec{B}_j$ не работают. Я опять не туда пошёл?

[Munin]

Утундрий в сообщении #731812 писал(а):

Есть водонапорная башня, а есть кирпичи. Это несколько разные вещи.

Как предметы реальности - они могут совпадать. Но как предметы обсуждения - очевидно разные.

iifat в сообщении #731841 писал(а):

Ну, упоминания и требования наличия в произвольном поле двойки тоже нигде не пишут. Однако $1+1=2$. Ну, за редкими исключениями.

Эти "редкие" исключения как раз и означают, что в произвольном поле никакого требования наличия двойки нет. Вот и не пишут. И кстати, "редкие" - это только ваше мнение: вам такие редко встречались. А кто-то всю жизнь может с таким случаем работать.

illuminates в сообщении #731907 писал(а):

у меня сивол кронекера выполняется для $(e_1^Ae_1^B)=1 $ $(e_2^Ae_2^B)=1 $ но на этом всё. ведь $(e_1^Ae_2^B)\neq0$ следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу?

Нет, как раз утверждение Theoristos состоит в том, что можно ввести такой базис $\vec{B}_i,$ что будет и то и другое, и $(\vec{e}_1^A\vec{e}_1^B)=1,$ $(\vec{e}_2^A\vec{e}_2^B)=1,$ и при этом $(\vec{e}_1^A\vec{e}_2^B)=0,$ $(\vec{e}_2^A\vec{e}_1^B)=0.$ Это можно сделать поштучно: рассмотрим первый вектор нового базиса. Мы для него имеем систему линейных уравнений
$(\vec{e}_1^A\vec{e}_1^B)=1$
$(\vec{e}_2^A\vec{e}_1^B)=0$
которых (в конечномерном случае) ровно столько, чтобы задать этот вектор существующим и однозначным. (Про бесконечномерный случай не скажу.) Вот решение этой системы уравнений и назовём первым вектором нового базиса. Потом запишем и решим аналогичную систему для второго вектора, и т. д.