2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Theoristos в сообщении #731780 писал(а):
есть объект "вектор", а есть его "компоненты". Это несколько разные вещи.

Есть водонапорная башня, а есть кирпичи. Это несколько разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 02:00 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Утундрий, ваше сравнение некорректно. Если есть башня, то обязательно есть кирпичи. Если есть вектор - компонентов может не быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 02:28 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Утундрий в сообщении #731812 писал(а):
Есть водонапорная башня, а есть кирпичи
Что-то я таких терминов из курса линейной алгебры не помню. Видимо, начало склероза.
Хотя, конечно, попытка изложить в форуме линейную алгебру и начала тензорного исчисления — смело и благородно, но скорее из области юмора...
warlock66613 в сообщении #731814 писал(а):
Если есть вектор - компонентов может не быть
Эээ... Не поясните? Линейное пространство без базиса?

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 02:34 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
iifat в сообщении #731819 писал(а):
Линейное пространство без базиса?

Где вы в определении линейного пространства нашли упоминание и требование наличия базиса?

-- 03.06.2013, 03:39 --

Кстати, базис может быть несчётным? Если нет - то получается, что гильбертово пространство может быть таким, что базис вообще нельзя ввести, так ведь?

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 06:32 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):
Где вы в определении линейного пространства нашли упоминание и требование наличия базиса?
Ну, упоминания и требования наличия в произвольном поле двойки тоже нигде не пишут. Однако $1+1=2$. Ну, за редкими исключениями.
warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):
Кстати, базис может быть несчётным?
Раз нигде не требуется базис, то и счётным его никто быть не обяжет, нет?
Впрочем, таки да, уели. Бывают линейные пространства без базиса. Хотя, как понимаю, ТС интересуется не этим случаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 08:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):
iifat в сообщении #731819 писал(а):
Линейное пространство без базиса?
Где вы в определении линейного пространства нашли упоминание и требование наличия базиса?

Его нет. Т.е. линейное пространство само по себе наличия базиса не предполагает. Но если базис вводится, то обязательно одновременно с координатами. Или буквально одновременно, или через пару фраз, но с неизбежностью.

warlock66613 в сообщении #731820 писал(а):
Кстати, базис может быть несчётным? Если нет - то получается, что гильбертово пространство может быть таким, что базис вообще нельзя ввести, так ведь?

В гильбертовом пространстве базис можно ввести тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Имеется в виду, конечно, базис в том смысле, в котором он хоть сколько-то полезен для гильбертовости.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 11:41 


22/06/12
417
Theoristos в сообщении #731780 писал(а):
Но можно ввести другой базис $\vec{B}_i$, такой что отдельный вектор $\vec{B}_i$ будет перпендикулярен остальным $\vec{A}_i$, a при одинаковых индексах скалярное произведение равно 1: $\vec{A}_i \cdot\vec{B}_j==\delta_{iо}$



спасибо за доходчивое объяснение но меня хватило до строчки.

вот смотрите:

у меня сивол кронекера выполняется для $(e_1^Ae_1^B)=1  $ $(e_2^Ae_2^B)=1 $ но на этом всё. ведь $(e_1^Ae_2^B)\neq0$ следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу?

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 11:57 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #731856 писал(а):
В гильбертовом пространстве базис можно ввести тогда и только тогда, когда оно сепарабельно

очередная глупость. см. Иосида Функциональный анализ, раздел: "Ортогональный базис. Неравенство Бесселя..."

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 12:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #731913 писал(а):
очередная глупость.

Пожалуйста. Приведите пример сепарабельного гильбертова пространства, в котором нельзя ввести ортогонального базиса. Или пример несепарабельного пространства, в котором можно ввести базис. Или и то, и другое -- как хотите.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 12:13 


10/02/11
6786
Теорема [Иосида Функциональный анализ, раздел: "Ортогональный базис. Неравенство Бесселя..."]. В любом (не нульмерном) гильбертовом пространстве существует ортогональный базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 12:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ewert в сообщении #731856 писал(а):
Имеется в виду, конечно, базис в том смысле, в котором он хоть сколько-то полезен для гильбертовости.

Читать тоже полезно уметь. Несчётный базис ввести, конечно, можно, но с его помощью ничего невозможно посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 13:11 


22/06/12
417
Theoristos
чего то картинка не вставилась, повторим:

Theoristos в сообщении #731780 писал(а):
о можно ввести другой базис $\vec{B}_i$, такой что отдельный вектор $\vec{B}_i$ будет перпендикулярен остальным $\vec{A}_i$, a при одинаковых индексах скалярное произведение равно 1: $\vec{A}_i \cdot\vec{B}_j==\delta_{iо}$.



спасибо за доходчивое объяснение но меня хватило до этой строчки.

вот смотрите:
Изображение
(случай двухмерия)

у меня сивол кронекера выполняется для
$(e_1^Ae_2^B)=0 $
$(e_2^Ae_1^B)=0 $
но на этом всё. ведь
$(e_1^Ae_1^B)\neq1$
$(e_2^Ae_2^B)\neq1$
следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу? в чем шутка?

-- 03.06.2013, 14:45 --

Theoristos

и к сожалению самого важного я не понял.
1) вы говорите что у нас не ортогональный базис.
2) в нём у нас два вектора x и у.
3) разложить на компоненты их незя следовательно незя произвести операцию скалярного произведения.
4) но по не понятным мне причинам вы все равно раскладываете х: $\vec{x}=\Sigma x_{(A)i} \vec{A}_i$
5) далее раскладываете у в новом базисе $\vec{y}=\Sigma y_{(B)j} \vec{B}_j$

я чего то не пойму.
почему нельзя рассуждать так:
1) у нас не ортогональный базис.
2) в нём у нас два вектора x и у.
3) разложить на компоненты их незя следовательно незя произвести операцию скалярного произведения.
4) Поэтому мы строим новый, ортогональный базис с началом координат в старом и раскладываем вектора x и у в нём следовательно здесь же производим операцию скалярного произведения.
5) возвращаемся с помощью метрического тензора в исходный, кривой базис.

укажите пожалуйста где я ошибаюсь, или проясните свои слова в которых я вижу нелогичность. Спасибо!

Кстати вы промолчали про метрический тензор в своём сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 13:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
illuminates в сообщении #731963 писал(а):
у меня сивол кронекера выполняется для
$(e_1^Ae_2^B)=0 $
$(e_2^Ae_1^B)=0 $
но на этом всё. ведь
$(e_1^Ae_1^B)\neq1$
$(e_2^Ae_2^B)\neq1$
следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу? в чем шутка?
А вы чего с такими элементами базисов хотели? Найдите, например, вектор $\mathbf a$ такой, что $\mathbf e_1^A \mathbf a = 1$ и $\mathbf e_2^A \mathbf a = 0$. Удивитесь, но таких в этом же векторном пространстве только два! Так же и со вторым нужным вектором. Хорошо ещё, что все четыре их сочетания образуют базис.

P. S. У вас на рисунке два $\mathbf e_2^B$ и ни одного $\mathbf e_1^B$. Не спешите так, будьте аккуратнее. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 13:51 


22/06/12
417
то есть ещё раз конкретный вопрос:
почему мы вектор x раскладываем в кривом базисе, затем вектор у в новом кривом базисе, который перпендикулярен старому, а затем...?берём их скалярное произведение?

-- 03.06.2013, 15:02 --

посмотрел на ситуацию по другому.
у нас был базис $ e_1^Ae_2^B $ мы составили базис $ e_1^Be_2^B $
теперь из этих орт составим два ортогональных базиса:
$ e_1^Ae_1^B $ и $ e_2^Ae_2^B $
УРА!
Но подождите, тогда наши бедные вектора непонятно как раскладывать. У нас получилось два смешанных базиса. Разложения $\vec{x}=\Sigma x_{(A)i} \vec{A}_i$ и $\vec{y}=\Sigma y_{(B)j} \vec{B}_j$ не работают. Я опять не туда пошёл?

 Профиль  
                  
 
 Re: просветите про скалярное произведение и метрический тензор
Сообщение03.06.2013, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #731812 писал(а):
Есть водонапорная башня, а есть кирпичи. Это несколько разные вещи.

Как предметы реальности - они могут совпадать. Но как предметы обсуждения - очевидно разные.

iifat в сообщении #731841 писал(а):
Ну, упоминания и требования наличия в произвольном поле двойки тоже нигде не пишут. Однако $1+1=2$. Ну, за редкими исключениями.

Эти "редкие" исключения как раз и означают, что в произвольном поле никакого требования наличия двойки нет. Вот и не пишут. И кстати, "редкие" - это только ваше мнение: вам такие редко встречались. А кто-то всю жизнь может с таким случаем работать.

illuminates в сообщении #731907 писал(а):
у меня сивол кронекера выполняется для $(e_1^Ae_1^B)=1  $ $(e_2^Ae_2^B)=1 $ но на этом всё. ведь $(e_1^Ae_2^B)\neq0$ следовательно базисы не полностью ортогональны к друг другу?

Нет, как раз утверждение Theoristos состоит в том, что можно ввести такой базис $\vec{B}_i,$ что будет и то и другое, и $(\vec{e}_1^A\vec{e}_1^B)=1,$ $(\vec{e}_2^A\vec{e}_2^B)=1,$ и при этом $(\vec{e}_1^A\vec{e}_2^B)=0,$ $(\vec{e}_2^A\vec{e}_1^B)=0.$ Это можно сделать поштучно: рассмотрим первый вектор нового базиса. Мы для него имеем систему линейных уравнений
$(\vec{e}_1^A\vec{e}_1^B)=1$
$(\vec{e}_2^A\vec{e}_1^B)=0$
которых (в конечномерном случае) ровно столько, чтобы задать этот вектор существующим и однозначным. (Про бесконечномерный случай не скажу.) Вот решение этой системы уравнений и назовём первым вектором нового базиса. Потом запишем и решим аналогичную систему для второго вектора, и т. д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group