Что такое связная группа?

[Ktina]

xmaister в сообщении #731966 писал(а):

Ну так то вообще сперва лучше посмотреть на курс общей топологии и алгебры по отдельности))). Кирпич Энгелькинга и, как уже говорили выше, Винберг тебе в помощь

Спасибо!

[apriv]

Ms-dos4 в сообщении #731928 писал(а):

Ktina
$\[{\rm{G}}{{\rm{L}}_n}\]$ несвязна над $\[{\rm{R}}\]$, но связна над $\[{\rm{C}}\]$

Это смотря как посмотреть: ${\rm GL}_n(K)$ является связной алгебраической группой для любого поля $K$ (хотя ${\rm GL}_n(\mathbb R)$, действительно, не обязана быть связной группой Ли).

[xmaister]

(Оффтоп)

apriv в сообщении #732231 писал(а):

${\rm GL}_n(K)$ является связной алгебраической группой для любого поля $K$

Это разве вполне очевидно?

[g______d]

apriv в сообщении #732231 писал(а):

${\rm GL}_n(K)$ является связной алгебраической группой для любого поля $K$

Даже для конечного поля $K$?

[apriv]

g______d в сообщении #732265 писал(а):

Даже для конечного поля $K$?

Даже для конечного поля. Конечно, она неприводима в схемном смысле, то есть, алгебраическая группа здесь понимается как представимый функтор. То, что ее группа точек над какой-нибудь $K$-алгеброй может быть приводимым, этому ничуть не противоречит.

-- 04.06.2013, 00:56 --

xmaister в сообщении #732243 писал(а):

Это разве вполне очевидно?

Вполне очевидно, что тот самый многочлен, который порождает идеал функций, обращающихся в нуль на $\mathrm{GL}$, неприводим.

[provincialka]

Сразу уж матрицы! Рассмотрим подмножества $\mathbb R$ с индуцированной топологией. Тогда все $\mathbb R$ связно и является группой по сложению. А $\mathbb R\setminus\{0\}$ - несвязно и является группой по умножению.

[g______d]

provincialka в сообщении #732390 писал(а):

Сразу уж матрицы! Рассмотрим подмножества $\mathbb R$ с индуцированной топологией. Тогда все $\mathbb R$ связно и является группой по сложению. А $\mathbb R\setminus\{0\}$ - несвязно и является группой по умножению.

Это тоже матрицы: $\mathfrak{gl}(\mathbb R)$ и ${\rm GL}(\mathbb R)$ :)