Задача С5 из ЕГЭ

[NeRRR]

Всем здравствуйте!
Сегодня наткнулась на несколько однотипных задач с параметром из вариантов ЕГЭ (год неизвестен).
Вот, к примеру, одна из них:

При каких значениях параметра $a$ уравнение $a^2+9|x-3|+3\sqrt{x^2-6x+13}=4a+2|x-2a-3|$ имеет хотя бы один корень?

На данный момент, кроме того, что я увидела под радикалом сумму квадратов, ничего разобрать не могу.
Перенос $4a$ влево и выделение там полного квадрата тоже ничего не дает.

Кто же справится или поможет справиться?

[ewert]

Перепишите уравнение как $9|t|+3\sqrt{t^2+4}=2|t-2a|+4a-a^2$. График левой части -- это такой остренький клювик, наклон которого везде явно больше наклона правого графика. Поэтому оба графика имеют общие точки при тех и только тех значениях $a$, при которых вершина клювика лежит не выше правого графика. Т.е. при $0\leqslant2|-2a|+4a-a^2$.

[TOTAL]

ewert в сообщении #731627 писал(а):

Т.е. при $0\leqslant2|-2a|+4a-a^2$.

$6 \le 2|-2a|+4a-a^2$

[melnikoff]

ewert, а почему левый и правый график не могут пересекаться когда вершина правого графика лежит ниже вершины клювика?

[ewert]

melnikoff в сообщении #731681 писал(а):

почему левый и правый график не могут пересекаться когда вершина правого графика лежит ниже вершины клювика?

Вершина правого графика тут не при чём; для него важны не вершины, а наклоны по сравнению с левыми.

Мой предыдущий текст не претендовал, разумеется, на точное решение. Он содержал лишь геометрически очевидную идею. Но после того, как эта идея высвечена -- её уже совсем легко формализовать.

Просто формально докажите, что после переноса всего в левую часть функция правее нуля в любых вариантах строго возрастает, левее нуля -- строго убывает; это легко, и этого достаточно.

Да, насчёт шестёрки TOTAL. Разумеется. Это был эффект, связанный с моей мучительной борьбой с зависанием на тот момент лисички, в результате которой (борьбы) подставляемый нолик нечаянно вытеснил получаемую в результате подстановки шестёрку.

[melnikoff]

ewert, спасибо. Все ясно.