просветите про скалярное произведение и метрический тензор

[illuminates]

Пожалуйста проверте мои суждения! (я физ-фак ориентации и очень хотелось бы услышать ответы физиков, поэтому вопрос в этой ветке)

Пусть имеем Евклидово пространство.
Всегда понимал скалярное произведение как операцию в некотором базисе в ходе которой один вектор проектируется на другой. $\vec{x} \vec{y}=xycos$
но тут начитался тензорного исчисления и запутался на 100%
Там это дело формулируется так:
$\vec{x}\vec{y}=x_ix^i$
это формула ни о чём конечно не говорит. С верхним индексом это обычный вектор в выбранной системе координат- контравариантный. А с нижний - из дуального пространства (сопряженного) -ковариантный.
Я знаю что при замене базиса, контравариантный ведет себя как и полагается - меняется "по обычному". Ковариантный сходит с ума.
Удивительно, но я НИГДЕ не нашел не замудрёного и доходчивого объяснения. Помогла книжка "тэнзоры для чайников". Как свет для физика. Но и запутала тоже она. Позвольте вопрос сразу, нет ли книжки подобной только про матрицы? Нет, нет я знаю как считать определители, перемножать матрицы и т.д. нужна книжка в которой бы описывались на пальцах то что поможет пригодится в теор физики. К примеру объяснение на понимание, что такое характеристическое уравнение, и тому подобное.

Давайте продолжим.
Можно начинать подругому
$\vec{x}\vec{y}=$некая квадратичная форма (всевозможные комбинации произведения компонент x и y - 9 штук, перед каждым таким произведением стоят константы, которые оказываются в дальнейшим компонентами метрического тензора)$=g_{ij}x^ix^j$
Тогда вопрос, бедный cos в $\vec{x}\vec{y}=xycos$ это то что вылетает из метрического тензора в прямоугольных координатах? но тогда почему матрица метрического тэнзора только с единичными компонентами по главной диагонали? Вам не кажется что в эту матрицу тогда нужно запихать cos на главную диагональ?


и последний вопрос. Я понимаю метрический тензор как сущность с помощью которой можно определить любое пространство. То есть, её надо было вводить перед всем мной написанным. Но в учебниках начинают плясать сразу дальше. Правильно ли я чуствую, что $g_{ij}=(e_i e_j)$? Тогда понятно почему в прямоугольном трёхмерии имеем единичную матрицу.
А как быть с четырёхмерием? откуда берётся $g_{ij}=[(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)]$ ?

[arseniiv]

$xy\cos\alpha$ — это же не сумма произведений вида $a_{ij} x^i y^j$, это произведение трёх скаляров (две длины и косинус угла) — с чего вы взяли, что этот косинус должен засунуться в числа $a_{ij}$? Это ниоткуда не следует.

illuminates в сообщении #731378 писал(а):

$\vec{x}\vec{y}=x_ix^i$

Неужели и правда это не зависит от $y$?

[iifat]

Как-то всю жизнь думал, что физик — это отнюдь не какое-то неизлечимое заболевание мозга, не дающее человеку возможности нормально изучить математику по нормальным учебникам. Я ошибался?
Тензоры — да, крышесносящая область математики. Туда надо с трудом и болью душевной погружаться (имхо). Но от высказанной каши в голове просто необходимо (именно вам, как физику) избавляться чтением учебников.

illuminates в сообщении #731378 писал(а):

понятно почему в прямоугольном трёхмерии имеем единичную матрицу.
А как быть с четырёхмерием? откуда берётся

Не в "прямоугольном трёхмерии". В трёхмерном евклидовом пространстве. Как и в евклидовом пространстве любой размерности, если верить Википедии. А то, что вы написали про четырёхмерное — называется (опять же, если верить Википедии) пространством Минковского. Оно отличается от евклидова именно нормой, которая, в общем-то, и не норма вовсе (аксиоме положительности не удовлетворяет).
Таки в любом случае, не очень понятен вопрос. Вы затронули линейные пространства (в математике, как понимаю, эта область называется линейной алгеброй) и тензорное исчисление. Берите учебник (да боже ж мой! по линейной алгебре — любой!) и читайте. Прочитаете — поймёте, куда двигаться дальше.

[Alex-Yu]

illuminates в сообщении #731378 писал(а):

это формула ни о чём конечно не говорит.

Сначала Вам надо понять что такое взаимные базисы (или биортогональные системы -- то же самое). Это излагается в любом курсе линейной алгебры. Если базис ${\bf e}_i$ ортонормированный, то ${\bf a} = \sum {\bf e}_i({\bf e}_i,{\bf a})$. Тогда можно не различать ко- и контравариантные компоненты, они одни и те же: $a_i=({\bf e}_i,{\bf a})$. Если же базис "кривой", его векторы не перпендикулярны и/или не равны по модулю единице, то для нахождения коэффициентов разложения по базису нужно брать скалярные произведение с взаимным базисом ${\bf e}^i$, определяемым условием $({\bf e}_i,{\bf e}^j)=\delta_{ij}$. Векторы одного из двух взаимных базисов можно разложить по векторам другого. Коэффициенты такого разложения -- это и есть метрический тензор. Вот примерно так. Но детальнее -- это надо изучать любой учебник линейной алгебры.

[ewert]

illuminates в сообщении #731378 писал(а):

стоят константы, которые оказываются в дальнейшим компонентами метрического тензора)$=g_{ij}x^ix^j$

illuminates в сообщении #731378 писал(а):

$\vec{x}\vec{y}=x_ix^i$
это формула ни о чём конечно не говорит. С верхним индексом это обычный вектор в выбранной системе координат- контравариантный.

Исходной является именно вторая форма. Первая получается из второй чисто формально -- объединение первых двух сомножителей во второй есть некий достаточно искусственный трюк, называемый "опусканием индекса" с помощью метрического тензора.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #731547 писал(а):

некий достаточно искусственный трюк

этот "искуственный трюк" суть канонический изоморфизм между евклидовым пространством и ему сопряженным. Аналогичный результат (с соответствующей поправкой на комплексность) хорошо известен также и в случае гильбертовых пространств и называется там теоремой Рисса.

[Munin]

illuminates в сообщении #731378 писал(а):

Позвольте вопрос сразу, нет ли книжки подобной только про матрицы? Нет, нет я знаю как считать определители, перемножать матрицы и т.д. нужна книжка в которой бы описывались на пальцах то что поможет пригодится в теор физики. К примеру объяснение на понимание, что такое характеристическое уравнение, и тому подобное.

А разве это в стандартные учебники линала не входит?

В общем, тема называется "собственные векторы и собственные значения". Если вам она не знакома - вы прослушали какой-то недостаточный курс про матрицы.

[illuminates]

arseniiv в сообщении #731382 писал(а):

— это же не сумма произведений вида , это произведение трёх скаляров (две длины и косинус угла) — с чего вы взяли, что этот косинус должен засунуться в числа ? Это ниоткуда не следует.

но почему тогда эти две разные вещи названы скалярным произведением?

iifat
Alex-Yu
arseniiv
ewert
Oleg Zubelevich
Munin
А вы можите посоветовать какой нибудь кратенький и доходчивый учебник по линейной и тэнзорам в котором на физику постоянно выводят?

[arseniiv]

illuminates в сообщении #731667 писал(а):

но почему тогда эти две разные вещи названы скалярным произведением?

Не разные. Вообще, попробуйте определить, что такое косинус угла между векторами.

[Oleg Zubelevich]

illuminates в сообщении #731667 писал(а):

А вы можите посоветовать какой нибудь кратенький и доходчивый учебник по линейной и тэнзорам в котором на физику постоянно выводят?

вот это в корне неверная постановка вопроса

[Ms-dos4]

illuminates
Если хотите нормальный учебник по тензорному - берите Рашевского. Но там не кратко, и местами надо включать мозги

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #731674 писал(а):

вот это в корне неверная постановка вопроса

А вы попробуйте ответить. Интересно будет.

illuminates
Боюсь, вам надо два учебника - один кратенький и доходчивый, но чисто математический, а другой - по физике.

Впрочем, можно даже так. Учебник по линалу, учебник по дифурам, учебник по дифгему... а там и физика не за горами.

Просто такие вещи, как собственные векторы и числа, и квадратичные формы, вылезают в слишком многих местах в физике, в настолько многих, что их хорошо бы как-нибудь обобщить, чтобы кратко упомянуть. Вот свойства дифуров и поверхностей - как раз их обобщают неплохо, кажется.

[Утундрий]

Строго говоря, есть ещё и ультрабыстрый вариант. Помни: так делай и вот так делай, а так вот - не делай и всё будет хорошо. Поскольку "действий" по данной теме порядка десятка, этот путь "обучения" не представляется мне чем-то невозможным.

[Munin]

И как этот ультрабыстрый вариант поможет "изобретателю своей теории"?

[Theoristos]

illuminates в сообщении #731378 писал(а):

Пусть имеем Евклидово пространство.
Всегда понимал скалярное произведение как операцию в некотором базисе в ходе которой один вектор проектируется на другой. $\vec{x} \vec{y}=xycos$
но тут начитался тензорного исчисления и запутался на 100%
Там это дело формулируется так:
$\vec{x}\vec{y}=x_ix^i$
это формула ни о чём конечно не говорит. С верхним индексом это обычный вектор в выбранной системе координат- контравариантный. А с нижний - из дуального пространства (сопряженного) -ковариантный.
Я знаю что при замене базиса, контравариантный ведет себя как и полагается - меняется "по обычному". Ковариантный сходит с ума.
Можно начинать по-другому
$\vec{x} \vec{y}=$некая квадратичная форма (всевозможные комбинации произведения компонент x и y - 9 штук, перед каждым таким произведением стоят константы, которые оказываются в дальнейшим компонентами метрического тензора)$=g_{ij}x^ix^j$

Может так будет не строго математически, но чуть понятнее.
Обратите внимание, что есть объект "вектор", а есть его "компоненты". Это несколько разные вещи.
У нас есть объекты-векторы и правила их сложения, умножения на число и скалярного произведения.
Набор чисел - компоненты "живут", имеют смысл только при наличии какого-то фиксированного базиса $\vec{A}_i$. Смысл $x_i$ в разложении по базису $\vec{x}=\Sigma x_{(A)i} \vec{A}_i$.
Зная исходные операции несложно вывести соотв. им операции для компонентов вектора, представления вектора в заданном базисе. Сложение, умножение на число, и если базис ортонормирован - скалярного произведения.
В криволинейных координатах векторы базиса "не перпендикулярны" $\vec{A}_i \cdot\vec{A}_j\ne\delta_{ik}$, а значит в общем случае нельзя записать скалярное произведение векторов через сумму произведений компонент $\vec{x} \cdot\vec{y}\ne x_{(A)i} y_{(A)i}$ (как и прямо найти эти компоненты скалярным произведением $x_i\ne\vec{x}\cdot\vec{A}_i).
Но можно ввести другой базис $\vec{B}_i$, такой что отдельный вектор $\vec{B}_i$ будет перпендикулярен остальным $\vec{A}_i$, a при одинаковых индексах скалярное произведение равно 1: $\vec{A}_i \cdot\vec{B}_j==\delta_{iо}$. И разложив $\vec{y}$ по этому базису $\vec{y}=\Sigma y_{(B)j} \vec{B}_j$ теперь уже можно записать $\vec{x}\cdot\vec{y}=\Sigma x_{(A)i} y_{(B)i}$.
Или, записав компоненты более простыми значками, $\vec{x}\cdot\vec{y}=x^i y_i$.
Как видно, один и тот же объект-вектор можно представить как в виде суммы компонент на вектора базиса по "верхнему" базису, так и по в виде суммы по "нижнему".