Метод перевала. Помогите найти ошибку

[illuminates]

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{ks(t)}dt $

делаю замену
$s(t)=s(t_0)+(t-t_0)s'(t_0)+1/2(t-t_0)^2s''(0)$
$t-t_0=de^{ia}$
$ s'(t_0):=0$

тогда

$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{ks(t)}dt =e^{ks(t)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{1/2kd^2e^{2ia}s''(t_0)}dt $

делаю замену
$u^2=-kd^2e^{2ia}s''(t_0)$

тогда
$e^{ks(t)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{1/2kd^2e^{2ia}s''(t_0)}dt=e^{ks(t)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/2}dt$

избавляюсь от dt
$l u l=((t-t_0)^2ks''(t_0))^{1/2}$
$l du l=1/2((t-t_0)^2ks''(t_0))^{-1/2}(2(t-t_0))dt$
$l du l=(ks''(t_0))^{-1/2}dt$
$l dt l=(ks''(t_0))^{1/2}du$

подставляю
$e^{ks(t)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/2}dt=(e^{ks(t)})/((ks''(t_0))^{-1/2}) \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/2}du=(e^{ks(t)})/((ks''(t_0))^{-1/2}) (2\pi)^{1/2}$

а нужный ответ:
$(e^{ks(t)}e^{ia})/((ks''(t_0))^{1/2}) (2\pi)^{1/2}$

[Otta]

illuminates
Вы бы хоть написали, какое $s$. Интеграл, вообще-то, далеко не при всех сходится.

[ewert]

Совершенно ничего невозможно понять. Зачем там какие-то мнимые единицы?... и кто заставлял Вас терять нолик в самой первой экспоненте?... и как понимать, например, эту загадку:

illuminates в сообщении #731525 писал(а):

$e^{ks(t)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/2}dt=(e^{ks(t)})/((ks''(t_0))^{-1/2}) \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/2}du=$

?
Наведите порядок.

Otta в сообщении #731529 писал(а):

Интеграл, вообще-то, далеко не при всех сходится.

Подразумевается, что сходится, и вообще там поначалу бесконечности не при чём. Это метод Лапласа.

[SpBTimes]

Попытка воспроизвести метод Лапласа?

[ewert]

SpBTimes в сообщении #731540 писал(а):

Попытка воспроизвести метод Лапласа?

А что же ещё? Только с просвечивающей зачем-то попыткой свести к методу стационарной фазы (хотя на самом деле всё наоборот).

[Otta]

ewert в сообщении #731543 писал(а):

А что же ещё? Только с просвечивающей зачем-то попыткой свести к методу стационарной фазы (хотя на самом деле всё наоборот).

А, вот что это было. Оказывается.

[SpBTimes]

ewert
На самом деле зависит от $s(t)$. Вдруг она комплекснознчаная - тогда нужна стац. фаза.

[illuminates]

Переписал другим путём: очень надеюсь на вашу помощь!

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ks(t)}dt $

делаю замену
$s(t)=s(t_0)+(t-t_0)s'(t_0)+1/2(t-t_0)^2s''(0)$
$t-t_0=de^{ia}$
$ s'(t_0)^=0$

тогда

$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{ks(t_0)}dt =e^{ks(t)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{1/2kd^2e^{2ia}s''(t_0)}dt $

делаю замену
$u^2=-kd^2e^{2ia}s''(t_0)$


тогда
$e^{ks(t_0)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{1/2kd^2e^{2ia}s''(t_0)}dt=e^{ks(t)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}dt$

избавляюсь от dt
$u^2=-kd^2e^{2ia}s''(t_0)=-k(t-t_0)^2s''(t_0)$
$u=(t-t_0)(-ks''(t_0))^{1/2}$
$(t-t_0)=u/(-ks''(t_0))^{1/2}$
$l dt l=(ks''(t_0))^{1/2}du$

подставляю
$e^{ks(t_0)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}dt=(e^{ks(t)})/((ks''(t_0))^{1/2}) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}du=(e^{ks(t)})/((ks''(t_0))^{1/2}) (2\pi)^{1/2}$

а нужный ответ:
$(e^{ks(t_0)}e^{ia})/((ks''(t_0))^{1/2}) (2\pi)^{1/2}$

экспоненты в числители не хватает.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

illuminates, наберите все формулы $\TeX$ом, а картинки уберите. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
И исправьте название темы на более содержательное. Напишите, например, в скобках "(метод перевала)" .
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[SpBTimes]

Откуда комплексность?

[illuminates]

SpBTimes
метод перевала подразумевает выход на комплексную плоскость

[SpBTimes]

illuminates
Я понимаю, но тут-то чистый Лаплас. И комплексности нет