О числе Лича

[Shadow]

Shadow в сообщении #731290 писал(а):

scwec, Ваше последнее уравнение равносильно несуществованию рационального прямоугольного треугольника с катетами $x^2-1 \text { и } 6x$ Очень похожее на Вашей задаче в другой теме. Только там было $3x$ если не ошибаюсь.

Ошибаюсь, там было с гипотенузой $x^2+1$ и катетом $3x$

[scwec]

Можно рассмотреть ещё уравнение $x^4+35x^2y^2+y^4=z^2$. Оно уже точно ничего не напомнит. А натуральных решений - ни одного.
И не такое популярное как с $34$.

[scwec]

Покажем, что уравнение $x^4+35x^2y^2+y^4=z^2$ не имеет натуральных решений.
$X=\frac{y}{x}, Y=\frac{z}{x^2}$. тогда $Y^2=X^4+35X^2+1$
С помощью Mapl приводим это уравнение к форме Вейерштрасса.

f := Y^2-X^4-35*X^2-1
v := Weierstrassform(f,X,Y,u,w)
v := [u^3-(1237/3)*u+w^2-83230/27, -(1/3)*(35*X^2+6-6*Y)/X^2, (2*(2+35*X^2-2*Y))/X^3, 18*w/(1189+210*u+9*u^2), -(1/2)*(-12178-840*u+18*u^2)/(1189+210*u+9*u^2)]

Уравнение эллиптической кривой в форме Вейерштрасса:
$w^2=u^3-\frac{1237}{3}u+\frac{83230}{27}$, где $u,w$ выражаются через $X,Y$ в третьей строке кода Mapl после первой и второй запятой (после них в этой строке следуют выражения $X,Y$ через $u,w$).
Далее с помощью Pari/gp вычисляем ранг и точки кручения этой кривой.

ellanalyticrank(ellinit([0,0,0,-1237/3,83230/27]))[1]
%1 = 0

elltors(ellinit([0,0,0,-1237/3,83230/27]))
%2 = [4, [2, 2], [[41/3, 0], [29/3, 0]]]

Ранг кривой равен нулю и рациональных точек бесконечного порядка нет. Точки кручения $(\frac{41}{3},0), (\frac{29}{3},0), (\frac{-70}{3},0),\infty$.
Из формул преобразования Mapl видно, что точки кручения соответствуют на кривой $Y^2=X^4+35X^2+1$ точкам $X=0,Y=\pm{1}$.
На исходной кривой точкам с $xy=0$. Натуральных решений нет.