Дифференциал функции

[Limit79]

Необходимо найти второй дифференциал функции $u=\arccos \left ( \frac{x}{y} \right )$.

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{y^2}}} \cdot \frac{1}{y}$

Вопрос такой: правомерно ли будет внести $y$ под корень, и упросить выражение для производной до $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-1}{\sqrt{y^2-x^2}}$ ?

[Otta]

Если он положителен. Если отрицателен, получится немного иначе.

[Limit79]

Otta
Больше никаких условий не дано, то есть нельзя внести?

Просто если внести, то дальнейшие расчеты будут менее громоздкими.

[Otta]

Дык вносите, но с учетом знака.
Или наоборот, вынесите квадрат игрека из под корня в знаменателе, увидите, что получится.

[Ms-dos4]

Хотите вносить - придётся таскать функцию знака

[Limit79]

Otta
А как внести с учетом знака?

Если вынести квадрат игрека из под корня, то получится $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-1}{\sqrt{y^2-x^2}}$, но в этом случае ограничения, как я понимаю, накладываются на игрек?

-- 01.06.2013, 01:33 --

Ms-dos4
А как-нибудь по-другому нельзя упросить?

[Otta]

Limit79
Корень потерял. :)
Не совсем так. $\sqrt{a^2}=?$.

[Limit79]

Otta
Добавил

$\sqrt{a^2} = |a|$, но потом везде таскать модуль?

[Ms-dos4]

Limit79
Вы как выносите то?
$\[\frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}} }}\frac{1}{y} = \frac{{ - 1}}{{\frac{1}{{\left| y \right|}}\sqrt {{y^2} - {x^2}} }}\frac{1}{y} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{y^2} - {x^2}} }}\frac{{\left| y \right|}}{y} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{y^2} - {x^2}} }}{\mathop{\rm sgn}} y\]$
Без функции знака - только рассматривать области $\[y > 0\]$ и $\[y < 0\]$ по отдельности.

[Limit79]

Ms-dos4
Эх, жаль...

Придется считать все эти громоздкие штуки

[Otta]

Limit79
Смотрите сами, что произошло. Исходная производная нечетна по y. Преобразованная - четна. Понятно, что так не должно быть.
В принципе, можно смотреть на нее (и дальше с ней работать) при положительных значениях $y$, вспомнив потом, что при отрицательных она противоположна по знаку. Но почему бы не носить этот знак с собой сразу? В виде сигнума, например?

[Ms-dos4]

Limit79
Ну функцию знака потаскайте. Там с ней просто - у неё производная везде кроме нуля равна нулю, а ноль у вас в ОДЗ не входит.

[Otta]

Limit79
Не надо считать громоздкие штуки, Вы неверно поняли. Упрощайте, но правильно.

-- 01.06.2013, 02:42 --

Ms-dos4 в сообщении #731085 писал(а):

Ну функцию знака потаскайте. Там с ней просто - у неё производная везде кроме нуля равна нулю, а ноль у вас в ОДЗ не входит.

На нее вообще как на функцию смотреть не надо, а тем более дифференцировать. Она кусочно постоянна, это постоянный множитель (ну почти). Просто при каждом значении аргумента - свой.

[Limit79]

Otta
Ms-dos4
Преподаватель, вряд ли ее одобрит...

[Ms-dos4]

Otta

Цитата:

На нее вообще как на функцию смотреть не надо, а тем более дифференцировать. Она кусочно постоянна, это постоянный множитель (ну почти). Просто при каждом значении аргумента - свой.

(Оффтоп)

Практически - да. А вот если методически... Но как я уже сказал, там кроме значения в нуле у ней производная везде ноль, и т.к. ноль в ОДЗ не входит, на неё действительно можно смотреть как на константу. Сложности могут возникать, когда если аргументом у неё может быть ноль - тогда там производная грубо говоря бесконечна (выражается через дельту Дирака).

Limit79

(Оффтоп)

я не знаю, что за преподаватели такие пошли. То им Лопиталя использовать нельзя в пределах, то не нравится преобразования Лапласа "по канону", то интегралы им видите-ли нужно брать определёнными заменами...