Равномерная сходимость квадратов допредельных функций

[AlexeyS]

Помогите опровергнуть утверждение: если последовательность $f_n(x)$ сходится к функции $f(x)$ на $(a,b)$ равномерно, то последовательность $f_n^2(x)$ сходится равномерно к $f^2(x)$ на $(a,b)$

[ewert]

Для ограниченных функций утверждение, очевидно, верно, так что нужны неограниченные. Вот и прибавьте к любой такой функции, скажем, последовательность констант, стремящихся к нулю.

[AlexeyS]

То есть, скажем, последовательность $f_n=1/x+1/n$ сходится равномерно к $1/х$ на $(0,1)$, а $f_n^2$ будет сходиться к $1/x^2$, но неравномерно. По моим вычислениям получается так

[ewert]

Ну например.

[AlexeyS]

ок, спасибо!