решить уравнение

[vorvalm]

Есть ли натуральные решения уравнения

$x^2-xy+y^2=z^2$,

кроме $x=y=z $ ?

[Shadow]

Метод секущих. Были тут ссылки на хороший материал - поищите.
В рациональных есть решение (0,1), значит есть бесконечно много всяких.

-- 29.05.2013, 08:02 --

Можно представить уравнение как $(2x-y)^2+3y^2=(2z)^2$ - будет проще

[temp03]

vorvalm, меняйте левую часть на $a^2-3b^2$, далее по правилу квадратичных форм общее параметрическое решение.

-- Ср май 29, 2013 15:49:56 --

Shadow в сообщении #729877 писал(а):

Можно представить уравнение как $(2x-y)^2+3y^2=(2z)^2$- будет проще

ой

[scwec]

Вот есть натуральные решения $x=8,y=3,z=7$ или $x=21,y=5,z=19$ и т.д. (бесконечно много)
Интересно здесь вот что. $(m^2-mn+n^2)(p^2-pq+q^2)=r^2-rs+s^2$, где $r=mp-nq,s=np+mq-nq$.
Таким образом, если есть хотя бы два натуральных решения, то произведение левых частей тоже квадрат. Так получается бесконечность натуральных решений для $x^2-xy+y^2=z^2$.
На самом деле справедливо более общее тождество: $(m^2+amn+bn^2)(p^2+apq+bq^2)=r^2+ars+bs^2$, где $r=mp-bnq,s=bp+mq+anq$.
И можно найти 2-параметрическое натуральное решение для уравнения $x^2+axy+by^2=z^2$

[Deggial]

Вот одна Предыдущая аналогичная тема

[Shadow]

scwec в сообщении #730058 писал(а):

И можно найти 2-параметрическое натуральное решение для уравнения $x^2+axy+by^2=z^2$

Если нигде не напутал:

$\\x=bp^2-q^2\\ y=2pq+aq^2\\ z=bp^2+apq+q^2$

-- 29.05.2013, 20:12 --

Хммм, верно только при $b=1$ Проверю где ошибся

-- 29.05.2013, 20:20 --

$\\x=q^2-bp^2\\ y=2pq-ap^2\\ z=q^2+apq+bp^2$

[Коровьев]

Shadow в сообщении #730128 писал(а):

scwec в сообщении #730058 писал(а):

И можно найти 2-параметрическое натуральное решение для уравнения $x^2+axy+by^2=z^2$

$\\x=q^2-bp^2\\ y=2pq-ap^2\\ z=q^2+apq+bp^2$

Опять ошибка

$q=p=a=b=1$

$x=0$

$y=1$

$z=3$
но
$1 \ne 3^2$

[Shadow]

Коровьев в сообщении #730169 писал(а):

Опять ошибка

На этот раз просто опячатка, но уже я сам себе надоел $y=2pq+ap^2$

-- 29.05.2013, 23:25 --

Формально полная параметризация:
$\\x=t(q^2-bp^2)\\ y=t(2pq+ap^2)\\ z=\pm t(q^2+apq+bp^2)$

Если опять ошибся, значит я идиот - больше редактировать не буду!

[Коровьев]

$$z^2 = x^2 + axy + by^2 $
Найти решения этого эллиптического уравнения, помимо метода секущих, можно и другим методом.
Пусть
$$\lambda ^2 + a\lambda + b = \left( {\lambda - \alpha } \right)\left( {\lambda - \beta } \right)$
Тогда имеем
$$\left( {x^2 + axy + by^2 } \right)^2 = \left[ {\left( {x - y\alpha } \right)\left( {x - y\beta } \right)} \right]^2 = \left( {x^2 - 2xy\alpha + y^2 \alpha ^2 } \right)\left( {x^2 - 2xy\beta + y^2 \beta ^2 } \right)$
Учитывая
$$\alpha ^2 = - a\alpha - b$

$$\beta ^2 = - a\beta - b$

Получим
$$\left( {x^2 + axy + by^2 } \right)^2 = \left[ {\left( {x^2 - by^2 } \right) - \alpha \left( {2xy + ay^2 } \right)} \right]\left[ {\left( {x^2 - by^2 } \right) - \beta \left( {2xy + ay^2 } \right)} \right] = $
$$ = \left( {x^2 - by^2 } \right)^2 + a\left( {x^2 - by^2 } \right)\left( {2xy + ay^2 } \right) + b\left( {2xy + ay^2 } \right)^2 = X^2 + aXY + bY^2 $

Этот метод из алгебраической теории чисел позволяет найти решения и для уравнения
$$z^n = x^2 + axy + by^2 $
недоступного для метода секущих.

$$\left( {x^2 + axy + by^2 } \right)^n = \left( {x - y\alpha } \right)^n \left( {x - y\beta } \right)^n = \left( {X_n - Y_n \alpha } \right)\left( {X_n - Y_n \beta } \right) = X_n ^2 + aX_n Y_n + bY_n ^2 $
Правда, не всегда можно утверждать, что это все решения.

[Батороев]

Число решений уравнения бесконечно, хотя бы потому, что произведение любых четырех подряд идущих натуральных чисел равно $(x^2+y^2-z^2)$, где $x$ - произведение первого и третьего чисел из указанной четверки, а $y$ - второго и четвертого.

[vorvalm]

По теореме косинусов $x^2+y^2-2xy\cos\alpha=z^2.$
При $\alpha=90^{\circ},\;\;x^2+y^2=z^2.$
При $\alpha=120^{\circ}.\;\;x^2+y^2+xy=z^2.$
При $\alpha=60^{\circ},\;\;x^2+y^2-xy=z^2.$