2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Задача Пифагора
Сообщение29.03.2011, 11:43 


31/12/10
1555
$C^2= A^2+AB+B^2$
Найти алгоритм определения всех целочисленных решений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 16:59 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Решается обычным методом секущих.
$C^2=A^2+AB+B^2$
$1=x^2+xy+y^2$ - это эллипс, у него есть 1 рациональная точка $(1;0)$, а поскольку кривая второго порядка, то секущая, проходящая через эту точку, пересекает эллипс в рациональной точке. Секущую возьмем $y=k(x-1)$, множество рациональных точек биективно множеству всех $k$. Подставляем:
$x^2(k^2+k+1)-x(k^2+2k)+(k^2-1)=0$.
$x_1=1$, тогда по теореме Виета $x_2 = \frac{k^2-1}{k^2+k+1}, y_2 = - \frac{k^2+2k}{k^2+k+1}$, откуда, наконец,
$$
\left\{
\begin{array}{lll}
A=q(m^2-n^2) \\
B=q(m^2+2mn) \\
C=q(m^2+mn+n^2)
\end{array}
$$

Можно было зайти и в $\mathbb{Z}[\zeta], \zeta ^3=1$, но я что-то там запарился :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:03 


31/12/10
1555
Sonic86
Что означают числа q, m, n?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
$q,m,n \in \mathbb{Z}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:23 


31/12/10
1555
Sonic86
А вы пробовали проверить свои выводы?
У меня что-то не плучается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Угу, опечатался, минус забыл:
$$ \left\{ \begin{array}{lll} A=q(m^2-n^2) \\ B=-q(m^2+2mn) \\ C=q(m^2+mn+n^2) \end{array} $$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:52 


31/12/10
1555
Sonic86
Так еще хуже!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 20:00 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Например:
$$
q=1, m=5, n=2;
A=21, B=45, C=39;
21^2-21 \cdot 45 + 45^2 = 1521 = 39^2.
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 20:19 


31/12/10
1555
Sonic86
Что-то вы часто путаете исходные условия. Там АВ, но не -АВ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 20:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Цитата:
$B = $(-1)$q(m^2+2mn)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Пифагора
Сообщение29.03.2011, 20:28 
Заслуженный участник


04/05/09
4582

(Оффтоп)

vorvalm не читатель.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 21:02 


31/12/10
1555
Sonic
Я имел ввиду начальные условия поставленной задачи.$C^2=A^2+AB+B^2$

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение29.03.2011, 22:42 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Sonic86 в сообщении #428760 писал(а):
$1=x^2+xy+y^2$ - это эллипс, у него есть 1 рациональная точка $(1;0)$, а поскольку кривая второго порядка, то секущая, проходящая через эту точку, пересекает эллипс в рациональной точке.
Очень смелое утверждение!
Таким образом, можно доказать, что все точки на эллипсе, имеющем хотя бы одну рациональную точку рациональны :D

Впрочем, я догадываюсь, что Вы имели в виду :-)

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение30.03.2011, 00:49 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
vorvalm в сообщении #428881 писал(а):
Sonic
Я имел ввиду начальные условия поставленной задачи.$C^2=A^2+AB+B^2$

$A^2+AB+B^2=(A+B)^2-(A+B)B+B^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2011, 06:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Sonic86 писал(а):
$$ q=1, m=5, n=2; A=21, B=45, C=39; 21^2-21 \cdot 45 + 45^2 = 1521 = 39^2. $$

Опять опечатка: $B=-45$. Опять же по формуле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group