Школьная система уравнений

[ain1984]

Уважаемые участники форума! Помогите решить систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\ x+y-\sqrt{xy}=3 \end{cases}$

Указание: Поделить первое уравнение на второе

Моё решение:

Сделаем замену: $\sqrt{x}=a$, $\sqrt{y}=b$, тогда

$ \begin{cases} a+b=3\\ a^2+b^2-ab=3 \end{cases}$


$ \begin{cases} a=3-b\\ (3-b)^2+b^2-b(3-b)=3 \end{cases}$

$ \begin{cases} a=3-b\\ 9-6b+b^2+b^2-3b+b^2=3 \end{cases}$

$ \begin{cases} a=3-b\\ 3b^2-9b+6=0 \end{cases}$

$b_1=2, b_2=1$

Получаем две системы уравнений:

$ \begin{cases} a=3-b\\ b=2 \end{cases} \qquad \begin{cases} a=3-b\\ b=1 \end{cases}$
Решая их, получим:
$ \begin{cases} b=2\\ a=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} b=1\\ a=2 \end{cases}$
Делая обратную замену, получим:
$ \begin{cases} \sqrt{y}=2\\ \sqrt{x}=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} \sqrt{y}=1\\ \sqrt{x}=2 \end{cases}$

$ \begin{cases} y=4\\ x=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} y=1\\ x=4 \end{cases}$

Но в этом решении не использовано указание. Подскажите, пожалуйста, как решить систему с использованием данного указания.

[bot]

ain1984 в сообщении #730245 писал(а):

Указание: Поделить первое уравнение на второе

Поделите, плюньте и вернитесь к своему решению. Другой очевидный вариант, дающий устное решение: возведите в квадрат первое уравнение ...

[Ms-dos4]

В общем то согласен с bot, легче всего возвести в квадрат 1-е уравнение.
Потому, что делением легче не получается. Выходит вот что(если разделить 2-е на первое)
$\[\frac{{x + y - \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = 1 \Rightarrow \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2} - 3\sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = 1 \Rightarrow \sqrt x + \sqrt y - \frac{{3\sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = 1\]$
Обозначим
$\[\sqrt x + \sqrt y = p\]$
$\[\sqrt {xy} = q\]$
Имеем
$\[q = \frac{p}{3}(p - 1)\]$
Но из первого уравнения $\[p = 3\]$, тогда $\[q = 2\]$
Теперь имеем систему, которая решается элементарно
$\[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x + \sqrt y = 3\\ \sqrt {xy} = 2 \end{array} \right.\]$
P.S.Но вот всё то же, только легче и получается возведением в квадрат

[TOTAL]

(Оффтоп)

bot в сообщении #730252 писал(а):

ain1984 в сообщении #730245 писал(а):

Указание: Поделить первое уравнение на второе

Поделите, плюньте и вернитесь к своему решению. Другой очевидный вариант, дающий устное решение: возведите в квадрат первое уравнение ...

Плеваться нехорошо, да и указания нужно исполнять на всякий случай, поэтому: поделите первое уравнение на второе, затем получившееся уравнение умножьте на первое.