2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 07:24 
Уважаемые участники форума! Помогите решить систему уравнений:

$
\begin{cases}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\
x+y-\sqrt{xy}=3
\end{cases}$

Указание: Поделить первое уравнение на второе

Моё решение:

Сделаем замену: $\sqrt{x}=a$, $\sqrt{y}=b$, тогда

$
\begin{cases}
a+b=3\\
a^2+b^2-ab=3
\end{cases}$


$
\begin{cases}
a=3-b\\
(3-b)^2+b^2-b(3-b)=3
\end{cases}$

$
\begin{cases}
a=3-b\\
9-6b+b^2+b^2-3b+b^2=3
\end{cases}$

$
\begin{cases}
a=3-b\\
3b^2-9b+6=0
\end{cases}$

$b_1=2, b_2=1$

Получаем две системы уравнений:

$
\begin{cases}
a=3-b\\
b=2
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
a=3-b\\
b=1
\end{cases}$
Решая их, получим:
$
\begin{cases}
b=2\\
a=1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
b=1\\
a=2
\end{cases}$
Делая обратную замену, получим:
$
\begin{cases}
\sqrt{y}=2\\
\sqrt{x}=1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
\sqrt{y}=1\\
\sqrt{x}=2
\end{cases}$

$
\begin{cases}
y=4\\
x=1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
y=1\\
x=4
\end{cases}$

Но в этом решении не использовано указание. Подскажите, пожалуйста, как решить систему с использованием данного указания.

 
 
 
 Re: Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 07:53 
Аватара пользователя
ain1984 в сообщении #730245 писал(а):
Указание: Поделить первое уравнение на второе

Поделите, плюньте и вернитесь к своему решению. Другой очевидный вариант, дающий устное решение: возведите в квадрат первое уравнение ...

 
 
 
 Re: Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 07:58 
В общем то согласен с bot, легче всего возвести в квадрат 1-е уравнение.
Потому, что делением легче не получается. Выходит вот что(если разделить 2-е на первое)
$\[\frac{{x + y - \sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = 1 \Rightarrow \frac{{{{(\sqrt x  + \sqrt y )}^2} - 3\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = 1 \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt y  - \frac{{3\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = 1\]$
Обозначим
$\[\sqrt x  + \sqrt y  = p\]$
$\[\sqrt {xy}  = q\]$
Имеем
$\[q = \frac{p}{3}(p - 1)\]$
Но из первого уравнения $\[p = 3\]$, тогда $\[q = 2\]$
Теперь имеем систему, которая решается элементарно
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x  + \sqrt y  = 3\\
\sqrt {xy}  = 2
\end{array} \right.\]$
P.S.Но вот всё то же, только легче и получается возведением в квадрат

 
 
 
 Re: Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 08:03 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

bot в сообщении #730252 писал(а):
ain1984 в сообщении #730245 писал(а):
Указание: Поделить первое уравнение на второе
Поделите, плюньте и вернитесь к своему решению. Другой очевидный вариант, дающий устное решение: возведите в квадрат первое уравнение ...

Плеваться нехорошо, да и указания нужно исполнять на всякий случай, поэтому: поделите первое уравнение на второе, затем получившееся уравнение умножьте на первое. :lol:

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group