2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 07:24 


11/10/11
84
Уважаемые участники форума! Помогите решить систему уравнений:

$
\begin{cases}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\
x+y-\sqrt{xy}=3
\end{cases}$

Указание: Поделить первое уравнение на второе

Моё решение:

Сделаем замену: $\sqrt{x}=a$, $\sqrt{y}=b$, тогда

$
\begin{cases}
a+b=3\\
a^2+b^2-ab=3
\end{cases}$


$
\begin{cases}
a=3-b\\
(3-b)^2+b^2-b(3-b)=3
\end{cases}$

$
\begin{cases}
a=3-b\\
9-6b+b^2+b^2-3b+b^2=3
\end{cases}$

$
\begin{cases}
a=3-b\\
3b^2-9b+6=0
\end{cases}$

$b_1=2, b_2=1$

Получаем две системы уравнений:

$
\begin{cases}
a=3-b\\
b=2
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
a=3-b\\
b=1
\end{cases}$
Решая их, получим:
$
\begin{cases}
b=2\\
a=1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
b=1\\
a=2
\end{cases}$
Делая обратную замену, получим:
$
\begin{cases}
\sqrt{y}=2\\
\sqrt{x}=1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
\sqrt{y}=1\\
\sqrt{x}=2
\end{cases}$

$
\begin{cases}
y=4\\
x=1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
y=1\\
x=4
\end{cases}$

Но в этом решении не использовано указание. Подскажите, пожалуйста, как решить систему с использованием данного указания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
ain1984 в сообщении #730245 писал(а):
Указание: Поделить первое уравнение на второе

Поделите, плюньте и вернитесь к своему решению. Другой очевидный вариант, дающий устное решение: возведите в квадрат первое уравнение ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 07:58 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
В общем то согласен с bot, легче всего возвести в квадрат 1-е уравнение.
Потому, что делением легче не получается. Выходит вот что(если разделить 2-е на первое)
$\[\frac{{x + y - \sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = 1 \Rightarrow \frac{{{{(\sqrt x  + \sqrt y )}^2} - 3\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = 1 \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt y  - \frac{{3\sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = 1\]$
Обозначим
$\[\sqrt x  + \sqrt y  = p\]$
$\[\sqrt {xy}  = q\]$
Имеем
$\[q = \frac{p}{3}(p - 1)\]$
Но из первого уравнения $\[p = 3\]$, тогда $\[q = 2\]$
Теперь имеем систему, которая решается элементарно
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x  + \sqrt y  = 3\\
\sqrt {xy}  = 2
\end{array} \right.\]$
P.S.Но вот всё то же, только легче и получается возведением в квадрат

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений
Сообщение30.05.2013, 08:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск

(Оффтоп)

bot в сообщении #730252 писал(а):
ain1984 в сообщении #730245 писал(а):
Указание: Поделить первое уравнение на второе
Поделите, плюньте и вернитесь к своему решению. Другой очевидный вариант, дающий устное решение: возведите в квадрат первое уравнение ...

Плеваться нехорошо, да и указания нужно исполнять на всякий случай, поэтому: поделите первое уравнение на второе, затем получившееся уравнение умножьте на первое. :lol:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group