Олимпиада школьников «Кенгуру»

[_Ivana]

Олимпиада школьников Кенгуру 2013
Проходила такая месяца полтора назад. Для разных классов были задачи разного уровня сложности.

Например, несколько задачек для 3-4 классов:

1) 50 мальчиков и 36 девочек встали в круг, держась за руки. Ровно у 26 мальчиков соседка справа - девочка. У скольких мальчиков соседка слева - девочка?
(А) 10 (Б) 14 (В) 24 (Г) 26 (Д) 36

2) Крошка Ру умеет писать только две цифры: 1 и 7. Он хочет написать несколько чисел, сумма которых равна 2013. Какое наименьшее количество чисел ему придется написать?
(А) 2 (Б) 3 (В) 5 (Г) 7 (Д) 9

3) Какое наименьшее количество карточек с цифрами (по одной цифре на каждой) надо иметь, чтобы можно было выложить любые четыре различных числа от 1 до 300 одновременно? (Карточки с цифрой 6 можно использовать и для обозначения цифры 9).
(А) 16 (Б) 68 (В) 74 (Г) 90 (Д) 160


А вот для 7-8 классов:

1) Джон задумал пятизначное число. Вычеркнув из него одну цифру, он сложил полученное четырехзначное число с исходным пятизначным. Сумма оказалась равна 52713. Чему равна сумма цифр задуманного пятизначного числа?
(А) 26 (Б) 23 (В) 20 (Г) 19 (Д) 17

2) На стене висят двое часов. Одни показывают точное время, а другие спешат. Сейчас угол между часовыми стрелками этих часов равен 42 градуса. Чему равен угол между минутными стрелками этих часов (в градусах)?
(А) 144 (Б) 120 (В) 84 (Г) 21 (Д) 7

3) Если натуральное число N меньше суммы трех его наибольших натуральных делителей (исключая само число N), то обязательно:
(А) N делится на 4 (Б) N делится на 5 (В) N делится на 6 (Г) N делится на 7 (Д) таких N не существует

4) Какое наибольшее произведение можно получить, если перемножить несколько натуральных чисел, сумма которых равна 2013?
(А) $2^{1006}$ (Б) $2^{1005}*3$ (В) $183^{11}$ (Г) $11^{183}$ (Д) $3^{671}$

5) Пусть С - число точных квадратов, а К - число точных кубов среди целых чисел от 1 до $2013^6$. Тогда:
(А) $K = 2013 C$ (Б) $2 C = 3 K$ (В) $3 C = 2 K$ (Г) $C^3 = K^2$ (Д) $C = 2013 K$

В частности, для 7-8 классов было всего 30 задач - 10 задач по 3 балла, 10 по 4 и 10 по 5 - итого 120. На днях пришли результаты проверки. Пара учеников-семиклассников из соседнего класса школы моего сына набрали по 111 баллов. Это значит, что они решили все задачи, кроме трех трехбальных или одной на 4 и одной на 5 баллов (при условии, что баллы за задачу либо начисляются либо не начисляются полностью). Надо будет решить с сыном задачку - какова вероятность такого события при случайном выборе ответов?

[VAL]

_Ivana в сообщении #729896 писал(а):

В частности, для 7-8 классов было всего 30 задач - 10 задач по 3 балла, 10 по 4 и 10 по 5 - итого 120. На днях пришли результаты проверки. Пара учеников-семиклассников из соседнего класса школы моего сына набрали по 111 баллов. Это значит, что они решили все задачи, кроме трех трехбальных или одной на 4 и одной на 5 баллов (при условии, что баллы за задачу либо начисляются либо не начисляются полностью). Надо будет решить с сыном задачку - какова вероятность такого события при случайном выборе ответов?

Надо будет студентам задать. Интересно, кто-нибудь до 15 баллов доберется? Сомневаюсь...
Кстати, в 111 баллах семиклассников тоже сомневаюсь.

[Legioner93]

(7-8) задача 4
Как это строго и быстро решить, пользуясь знаниями семиклассника?
Не без труда смог придумать решение, свободное от матана (как же он облегчает жизнь!)
1) Если разбивать число $S$ на фиксированное число слагаемых $p$, то максимальное произведение будет при равномерном разбиении по $\frac{S}{p}$.

(Доказательство для 7 класса)

Пусть есть произведение положительных чисел $\prod\limits_{k=1}^n a_k$, при этом $\sum\limits_{k=1}^n a_k = \operatorname{const} = n\cdot \overline{a} $. Если не все числа равны $\overline{a}$, то найдутся $a_i<\overline{a}$, $a_j > \overline{a}$, отсюда $a_j - a_i > \overline{a} - a_i$. Теперь заменим $a_i$ на $(a_i + (\overline{a} - a_i))$, а $a_j$ на $(a_j-(\overline{a} - a_i))$. Сумма $(a_i + a_j) $ не изменится, а произведение $a_i \cdot a_j$ вырастет на $(\overline{a} - a_i)(a_j - a_i)-(\overline{a} - a_i)^2>0$. Увеличится и полное произведение $\prod\limits_{k=1}^n a_k$
А не более, чем за $(n-1)$ таких операций мы получим $\prod\limits_{k=1}^n \overline{a}=(\overline{a})^n$

2) Лучше всего разбивать на слагаемые по $3$.

(Доказательство для 7 класса)

$3^{\frac{S}{3}}>k^{\frac{S}{k}} \Leftrightarrow 3^k > k^3 $, $k \in \mathbb{N}$. Первые несколько $k$ проверяем руками, а дальше индукция $3^{k+1}=3\cdot 3^{k} > 3\cdot k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k +1 = (k+1)^3$.
Неравенство $2k^3>3k^2 + 3k +1$ для достаточно больших $k$ становится очевидным даже семикласснику, если преобразовать его к $k\cdot (k\cdot(2k-3)-3)>1$, после чего берём там например $k>4$ и по-честному преобразовываем по свойствам неравенств.

Интересует, неужели это можно придумать в условиях олимпиады "Кенгуру"? 30 задач, 2-3 часа... А может, есть проще способ? В моё время олимпиадные задачи в 7 классе были по-моему куда проще

[_Ivana]

Да-да, число e и все такое... topic64051.html

А вообще, имхо, уровень задач и должен быть с запасом - как спидометр, чтобы стрелка не сломалась. Но я тоже не исключаю некий элемент угадывания ответов при наборе 111 баллов. Поэтому и тема в юморе

[EtCetera]

Legioner93

Legioner93 в сообщении #730189 писал(а):

Интересует, неужели это можно придумать в условиях олимпиады "Кенгуру"? 30 задач, 2-3 часа...

Не нужно этого придумывать.

Legioner93 в сообщении #730189 писал(а):

А может, есть проще способ?

Конечно, есть. Надо работать от имеющихся вариантов ответа. Т.е. достаточно провести ряд попарных сравнений между ними, что довольно-таки легко сделать.

[Legioner93]

EtCetera
Ну да, вы правы. Только математическую культуру это никак не развивает. С таким же успехом можно было заменить задание на "какое из пяти чисел больше?".

[EtCetera]

Legioner93 в сообщении #730201 писал(а):

С таким же успехом можно было заменить задание на "какое из пяти чисел больше?".

Может быть, и можно было. Возможно, это была усеченная версия более трудной задачи для старшеклассников (хотя аналогичной у них и не наблюдается).
Но данный конкурс требует от участников умение быстро выбрать нужную стратегию решения (где-то легче тем или иным образом перебрать варианты ответа, как здесь, где-то проще решение самой задачи довести до точного ответа).
И, кстати, время, отводимое на решение всех 30 задач, $\text{---}$ всего 1 час 15 минут , так что скорость реакции тут важна как никогда.

[Shadow]

Legioner93 в сообщении #730189 писал(а):

Интересует, неужели это можно придумать в условиях олимпиады "Кенгуру"? 30 задач, 2-3 часа... А может, есть проще способ

Legioner93, Семикласник должен догадатся, что присутствие числа $a>4$ невыгодно, его просто можно тупо заменить на более выгодную пару $(2,a-2)$ Единички - абсурд, с двойками разберется (не более двух двоек, т.к. две тройки лучше трех двоек). И все.

[photon]

VAL в сообщении #730140 писал(а):

Кстати, в 111 баллах семиклассников тоже сомневаюсь.

Не знаю, что делает тема в юморе... Я в свое время много лет назад участвовал в этой олимпиаде и скажу, что набрать реально было даже 120. Задачи все решаемые, основная проблема - очень ограниченное время на решение, но тестовость задач помогает - в большинстве случаев нет необходимости в строгом доведении решения до конца, а многое и вовсе решается с прочтения.
Кстати, в мое время система оценивания была несколько отличная от описанной автором: давалось некоторое начальное количество баллов, а далее за правильные ответы вы получали баллы (от 3 до 5), за неправильные - теряли столько, чтобы при случайном тыкании в ответы получали в среднем 0 баллов (Отсутствие ответа, таким образом, было лучше, чем неправильный ответ, и попытки угадывать оправданы, если вы хотя бы часть ответов смогли исключить, как заведомо неправильные). Начальные баллы давались из расчета, что если вы на все задачи дадите неправильные ответы, то получите в итоге 0.

Тема перенесена в корень раздела «Свободный полёт» и соединена с темой «Математическая олимпиада «Кенгуру», её "плюсы" и "минусы». / GAA

[Ktina]

Математическая олимпиада «Кенгуру» проводится в форме тестирования, то есть, среди пяти предложенных ответов необходимо выбрать единственно верный. Это удобно всем. И участникам олимпиады, так как не нужно выписывать полное решение. И проверяющим, так как всю работу за них делает компьютер. И даже составителям задач.
Вопрос - что мы теряем при такой форме проведения олимпиады?

Вот пример задачи с «Кенгуру», решить которую легко медодом исключения, а жаль, так как более глубокий смысл и математический интерес представляет как раз доказательство. Итак:

Наименьшее общее кратное чисел 24 и $x$ меньше наименьшего общего кратного чисел 24 и $y$.
В этом случае частное чисел $y$ и $x$ не может быть равно:

A) $\dfrac{7}{8}$

B) $\dfrac{8}{7}$

C) $\dfrac{2}{3}$

D) $\dfrac{6}{7}$

E) $\dfrac{7}{6}$

Пластичный мозг ребёнка, участвующего в олимпиаде, скорее всего, довольно быстро подберёт контрпримеры ко всем ответам, кроме D. Скажем,

A) $\dfrac{7}{8}$

B) $\dfrac{192}{168}$

C) $\dfrac{16}{24}$

D) Облом!

E) $\dfrac{28}{24}$

И с радостью обведёт кружочком буковку D, и будет, конечно же прав.
Но ведь олимпиада призвана выявлять одарённых учащихся.
Неужели одарённость заключается в том, чтобы быстро считать в уме?

[Red_Herring]

1) Не только в этой, но и во многих задачах большинство ответов неправдоподобные и отбросив их можно выбрать один из оставшихся (если не единственный оставшийся) наугад поскольку наказание за неправильный выбор меньше, чем награда за правильный (можно вообще не давать ответа). Да, безусловно, умение сразу отсеять заведомо неправильный ответ важно. Но всё же оно не исключает необходимости уметь найти (а не выбрать) правильный ответ и обосновать его. Это замечание относится не только к МК, но и к любым "multiple choice" соревнованиям или тестам. Это было бы не страшно, если бы был следующий тур, причём с достаточно либеральным допуском (ну, скажем, верхние 25% от тех, кто участвовал в первом туре, плюс призёры прошлых лет). Но в МК есть только один тур.

2) Некоторые проблемы сформулированы неряшливо, в результате чего допускают различные интерпретации и тем самым из приведённых правильны либо 2 ответа, либо 0.

3) Далеко не всегда проблема занимает правильное место (среди "лёгких", "средних" и "трудных"). Впрочем на самом деле все проблемы лёгкие; сложность в их количестве.

4) Хотя страны могут добавить "свои" проблемы, всё же большинство проблем общие. А проводится МК в разных странах не только в разное время, но и разные дни. В результате чего канадские "русские" или "румынские" школьники могут знать большинство задач заранее и очень многие этим пользуются, причём практически не скрываясь. Возможно так обстоит дело и с другими—я пишу то, о чём знаю.

ПС. Много лет назад от подобного дважды пострадало APMO (https://cms.math.ca/Competitions/APMO/): австралийцы поместили задачи на интернет до того как соревнование прошло во всех странах и в результате награждений не было (в частности, ни в Австралии, ни в Канаде—хотя там соревнования уже прошли. Впрочем неофициальные и необъявленные результаты учитывались при отборе на IMO). APMO имеет немного участников, только по приглашению. В Турнире Городов тоже соревнования не везде проводятся в те же дни, что и в Москве. Но в известных мне случаях это происходит со сравнительно малым числом участников, известных организаторам, и там есть "клятва честности". В общем, совершенно другие случаи.

5) Одна из целей МК делать деньги для организаторов (хотя по крайней мере в Канаде это НКО). В мировом масштабе (kangourou sans frontieres)—для некоей французской семейки. Поэтому в дополнение самим соревнованиям (платным!) организуются разные курсы повышения "квалификации" (тоже не задаром). Большинство субподрядчиков—все грейдеры и многие организаторы, а также инструктора на этих курсах—имеют весьма низкую квалификацию.

6) И вообще, вслед за МК развелись клоны и клоны клонов—цельный зоосад. И все такие challenging, развивающие.

ПС. Все мои знания о МК устарели лет на 5, если не больше. Т.ч. м.б. всё изменилось .

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1088945 писал(а):

ПС. Все мои знания о МК устарели лет на 5, если не больше. Т.ч. м.б. всё изменилось .

Судя по результатам - все по-прежнему.