Теорема Эйлера об однородных функциях

[Mikhail Sokolov]

Пусть $\textbf{R}_{+}$ - множество положительных действительных чисел.
Следующее утверждение известно как теорема Эйлера об однородных функциях:
Дифференцируемая функция $f:\textbf{R}^n_{+} \rightarrow \textbf{R}_{+}$ положительно однородна (т.е. $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ для любого $\lambda > 0$) тогда и только тогда, когда $x \cdot \nabla f(x)=f(x)$.

Я пытаюсь доказать следующую вариацию этого утверждения:
Локально липшицева функция $f:\textbf{R}^n_{+} \rightarrow \textbf{R}_{+}$ положительно однородна тогда и только тогда, когда равенство $x \cdot \nabla f(x) = f(x)$ справедливо для почти всех (в смысле меры Лебега) $x$. (Замечание: равенство осмыслено, поскольку по теореме Радемахера градиент $\nabla f(x)$ существует почти всюду).

Попытка доказательства.
$\Rightarrow$ Дифференцируя тождество $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ по $\lambda$ в точке $\lambda=1$, в правой части равенства получаем $f(x)$. Левая часть равенства представляет собой производную $f$ в точке $x$ по направлению $x$. По теореме Радемахера она существует почти всюду и равна $x \cdot \nabla f(x)$.
$\Leftarrow$ Для фиксированных $x$ и $\lambda^* > 1$ определим скалярную функцию $g:[1,\lambda^*]\rightarrow \textbf{R}_{+}$ равенством $g(\lambda)=f(\lambda x)$. Тогда $\lambda g'(\lambda)= \lambda x \nabla f(\lambda x) = g(\lambda)$ почти всюду. Поскольку $f$ локально липшицева, то $g$ (глобально) липшицева и, следовательно, абсолютно непрерывна. Рассмотрим уравнение Каратеодори $g'(\lambda)=g(\lambda)/\lambda$ с начальным условием $g(1)=f(x)$. Его абсолютно непрерывное решение имеет вид $g(\lambda)=\lambda f(x)$. Таким образом, $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ для любого $\lambda \in [1,\lambda^*]$. Отсюда следует, что это тождество справедливо для всех $\lambda \in \textbf{R}_{+}$.

Честно говоря, меня несколько смущает доказательство $\Leftarrow$. Проверьте, пожалуйста!