Пусть

- множество положительных действительных чисел.
Следующее утверждение известно как теорема Эйлера об однородных функциях:
Дифференцируемая функция
положительно однородна (т.е.
для любого
) тогда и только тогда, когда
.Я пытаюсь доказать следующую вариацию этого утверждения:
Локально липшицева функция
положительно однородна тогда и только тогда, когда равенство
справедливо для почти всех (в смысле меры Лебега)
. (Замечание: равенство осмыслено, поскольку по теореме Радемахера градиент

существует почти всюду).
Попытка доказательства.

Дифференцируя тождество

по

в точке

, в правой части равенства получаем

. Левая часть равенства представляет собой производную

в точке

по направлению

. По теореме Радемахера она существует почти всюду и равна

.

Для фиксированных

и

определим скалярную функцию
![$g:[1,\lambda^*]\rightarrow \textbf{R}_{+}$ $g:[1,\lambda^*]\rightarrow \textbf{R}_{+}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/1/1d18f1f6521d71ffb370cc261198439382.png)
равенством

. Тогда

почти всюду. Поскольку

локально липшицева, то

(глобально) липшицева и, следовательно, абсолютно непрерывна. Рассмотрим уравнение Каратеодори

с начальным условием

. Его абсолютно непрерывное решение имеет вид

. Таким образом,

для любого
![$\lambda \in [1,\lambda^*]$ $\lambda \in [1,\lambda^*]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/f/b4f6379ce0a2341e2b24c1e476c6a8bd82.png)
. Отсюда следует, что это тождество справедливо для всех

.
Честно говоря, меня несколько смущает доказательство

. Проверьте, пожалуйста!