Универсальная формула площади

[gofkane]

Здравствуйте. Есть ли универсальная формула вычисления площади по координатам в пространстве для произвольного $N$-угольника?

В плоскости есть:
$S = |\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{(x_{i+1}-x_i)(y_i+y_{i+1})}{2}}|$
(сумма ориентированных площадей трапеций под многоугольником)

[ewert]

В пространстве -- ровно то же самое, сумма соответствующих векторных произведений. Разница лишь в том, что в трёхмерном случае явная координатная запись этой формулы получится громоздкой; ну так просто и не надо переходить к координатам без особой необходимости.

[gofkane]

Как она всё же будет выглядеть, если записать в координатах?

[ИСН]

Знаете, что такое векторное произведение?

[gofkane]

Для двух векторов - да. Оно равно площади параллелограмма, построенного на отрезках, задающих вектора. Но как его применить к данной задаче?

[ewert]

gofkane в сообщении #729589 писал(а):

Для двух векторов - да. Оно равно площади параллелограмма, построенного на отрезках, задающих вектора.

Вас обманули. Это потом оно оказывается площадью, да и то оказывается лишь очень, очень отчасти. Определяется же оно иначе.

[gofkane]

К сожалению, я вас не очень понял. Из определения на вики следует, что векторное произведение численно равно площади. Может вам будет проще дать верное определение?

[ewert]

gofkane в сообщении #729721 писал(а):

Из определения на вики следует, что векторное произведение численно равно площади.

Вику имеет смысл читать только после учебников. Только после того, как Вы хоть в чём-то разберётесь. Там полно вульгаризмов, вот и тут: площадь применительно к векторному произведению -- не более чем лирика.

[gofkane]

Спасибо за помощь. Вы мне очень, очень помогли. Ведь я пришёл на форум именно за такими ответами. К сожалению, в школьных учебниках нет векторного произведения.

p.s.
Если вам настолько сложно дать хоть малость по теме ответ - можно порекомендовать учебник(желательно с указанием места, где его можно найти).

[ewert]

gofkane в сообщении #729737 писал(а):

можно порекомендовать учебник

Любой учебник, в котором есть хоть какая векторная алгебра. Ну пусть хоть и Бугров-Никольский (погуглите).

Понимаете, бесполезно обсуждать вопросы, к которым Вы идеологически не готовы. А подготовиться можно лишь одним способом -- учить матчасть. Гонять же формулки по случаю -- бессмысленно абсолютно.

[ИСН]

Чем вам Вики-то не нравится? Там есть определение, есть и выражение через декартовы координаты.

[ewert]

ИСН в сообщении #729780 писал(а):

Чем вам Вики-то не нравится?

Мне Вика очень нравится, я от неё просто млею; но по ней нельзя учиться. Иначе выходит то, что вышло:

gofkane в сообщении #729721 писал(а):

Из определения на вики следует, что векторное произведение численно равно площади.

Т.е. фразу мы увидели, но что она, к чему и причём тут задача -- так и осталось тайной. Ну и к чему такие как бы знания?...

[sergei1961]

А что такое многоугольник в пространстве? И что такое его площадь, особенно если точки не в одной плоскости?