2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение27.05.2013, 21:09 


19/02/13
42
Подскажите как доказать выводимость формулы из множества гипотез.
Пример: $(B \to A) \vdash ((A \to B) \to A)$
Я знаю как упростить через формулы алгебры Буля, но в задании сказано, что надо вывести из гипотез ИВ, как это сделать, подскажите, пожалуйста. Какую тут аксиому надо применить ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение27.05.2013, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Исчисление высказываний по-разному можно аксиоматизировать. У вас какая система аксиом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение27.05.2013, 21:20 


19/02/13
42
arseniiv, у нас просто 10 аксиом, нам не говорили на лекции как эта система называется. Объясните, пожалуйста, на примере любой системы аксиом как решить задачу, я думаю пойму и если что переделаю под нашу систему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение27.05.2013, 21:26 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Для всех логических связок есть нормальные обозначения: $\to, \vdash$
Код:
$\to, \vdash$

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.


-- Пн 27.05.13 22:38:01 --

Немного поправил и вернул.
Долларами надо окружать всю формулу, а не отдельные ее кусочки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение27.05.2013, 21:48 


19/02/13
42
А нужно перед выводом формулы этой в примере, упростить ее справа ? То выражение справа будет просто $A$, тогда формула проще будет. Но так можно делать в этих задачах или нет ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение27.05.2013, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Нет, нельзя упрощать. В выводе можно использовать только правила вывода. :-) Ну и вводить туда аксиомы и гипотезы.

Это уже потом показывается, что любая выводимая в исчислении высказываний формула — это тавтология алгебры высказываний, и в обратную сторону. И тогда можно смело эквивалентными преобразованиями по формуле, не боясь, что она сменит выводимость. Или не пытаться вывести какую-нибудь тождественно ложную, зная, что зато выводимо её отрицание.

kola1357 в сообщении #729207 писал(а):
у нас просто 10 аксиом, нам не говорили на лекции как эта система называется
Неужто эта?:$$\begin{array}{l} A \to (B\to A), \\
(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C)), \\ A \wedge B \to A, \\ A \wedge B \to B, \\ A \to (B \to (A \wedge B)), \\ A \to A \vee B, \\ B \to A \vee B, \\ (A \to C) \to ((B \to C) \to (A \vee B \to C)), \\ (A \to B) \to ((A \to \neg B) \to \neg A), \\ \neg\neg A \to A. \end{array}$$

Кстати, у вас вообще задача неправильная, как оказалось. (Надо было сразу проверить. :-( ) Невыводимо это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение28.05.2013, 04:51 
Заслуженный участник


16/02/13
3726
Владивосток
Вообще-то, ещё и правила вывода бывают разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение28.05.2013, 14:27 


19/02/13
42
arseniiv, да эта система аксиом, а как решить задачу тогда, вы говорите не выводимо. Я вот не знаю какую аксиому надо использовать для доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение28.05.2013, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
iifat в сообщении #729316 писал(а):
Вообще-то, ещё и правила вывода бывают разные.
Обычно к этой системе аксиом изначально приложен только Modus ponens, а производные правила, вроде бы, добавляют уже после определения вывода из гипотез, нет?

В любом случае, если какое-то правило вывода вместе с этими аксиомами позволит вывести заданное наверху, оно позволит вывести и кучу других формул, не выводимых в исчислении высказываний. Это будет теория, выводимые формулы которой не обязательно тавтологии алгебры высказываний. Она ничем не плоха, но ведь и не та. :-)

kola1357 в сообщении #729478 писал(а):
arseniiv, да эта система аксиом, а как решить задачу тогда, вы говорите не выводимо. Я вот не знаю какую аксиому надо использовать для доказательства.
В том и дело, что никак. Это было бы выводимо, если бы из $B \to A$ логически следовало $(A \to B) \to A$ (в исчислении высказываний), что эквивалентно тому, что $(B \to A) \to ((A \to B) \to A)$ — тавтология, чего нет. Можете сами проверить.

Видимо, задание было с опечаткой, или переписано неправильно, или ещё что-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение28.05.2013, 15:02 


19/02/13
42
arseniiv, действительно опечатка в задании.
Вот так правильно: $(B \to A) \vdash ((A v B) \to A)$
Как вот это доказать, нам дали эти 10 аксиом и модус понес (правило вывода)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение28.05.2013, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Вот! Так намного лучше. (Надеюсь, у вас есть где-нибудь рядом вывод $A\to A$, а то я его не помню, а он тут нужен.)

Как прийти к доказательству? Т. к. правило у нас пока только одно — Modus ponens — мы можем вывести только то, что есть в правой части какой-нибудь импликации в аксиомах. Там, в этих правых частях, есть всё, что может попасться в довольно сложной формуле. Так что надо выбрать какую-нибудь аксиому и попробовать с ней вывести.

Например, последняя аксиома вряд ли нам бы принесла что-то полезное, хотя при желании можно было бы составить вывод и с её использованием. Давайте попробуем восьмую: $(A\to C)\to((B\to C)\to(A\vee B \to C))$. Неформально, она говорит, что если из каждой альтернативы дизъюнкции что-то следует, то и из целой дизъюнкции оно следует. А у нас как раз надо вывести, что из дизъюнкции $A \vee B$ следует $A$. Может, мы сможем переписать эту аксиому так, чтобы $(A\vee B)\to A$ могло быть выведено? Да, можем: надо только заменить $C$ на $A$. Получится такая аксиома:$$(A\to A)\to((B\to A)\to(A\vee B \to A)).$$Как с помощью неё можно было бы вывести то, что надо? Есть только Modus ponens, и он говорит, что если $\vdash A\to A$, то $\vdash (B\to A)\to(A\vee B \to A)$. И что потом если $\vdash B\to A$, то и $\vdash A\vee B \to A$. А это как раз цель.

Можем ли мы вывести $B \to A \vdash A \to A$? Да, притом гипотеза тут не используется (это я предоставляю вам). Можем ли мы вывести $B\to A \vdash B\to A$? Да: доказательством этого будет одна строка — собственно, использование гипотезы, которая одновременно и то, что надо получить.

Теперь, используя аксиому 8 в форме $(A\to A)\to((B\to A)\to(A\vee B \to A))$, два имеющихся доказательства $B \to A \vdash A \to A$ и $B\to A \vdash B\to A$, попробуйте собрать доказательство $B \to A \vdash (A\vee B)\to A$. Не получится — кто-нибудь поправит. Пробуйте!

(Кстати, это так повезло с тем, что формула «близко» к аксиомам и её можно в них как бы увидеть. В принципе, и более сложные можно так разглядывать, но обычно для этого вводят новые правила вывода. Каждый вывод $A_1, \ldots A_n \vdash B$ порождает правило вывода $\frac{A_1, \ldots, A_n}B$ — его использование всё равно что вставка доказательства $A_1, \ldots A_n \vdash B$ в использующее доказательство. Например, можно доказать $A, B \vdash A \wedge B$ и использовать потом как правило введения конъюнкции. Достаточно сложные формулы с такими правилами выводятся (если они выводимы вообще) почти автоматически.)

($\TeX$.)

Только не $v$, а $\vee$ (\vee или \lor).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение28.05.2013, 16:43 


19/02/13
42
arseniiv, спасибо, вывод $ \vdash A \to A$ формулы нашел.



-- 28.05.2013, 17:49 --

arseniiv, еще хотел спросить еще по одному примеру.
Пример такой: $\vdash (( A \to \lnot B) \to ( B \to \neg A))$
Как тут лучше начать выводить, с какой аксиомы.

И еще я попробовал это сначала упростить, но в результате у меня получилось, что это выражение всегда истинно, так как после упрощения у меня получилось $\vdash 1$ И что тут доказывать уже я не понял, это ведь уже тавталогия.
Ребят, как ставить логическое отрицание в формулах.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.05.2013, 18:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5727
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

kola1357, наберите все формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике). Оформлять формулы $\TeX$ом здесь нужно везде, всегда, вчера и завтра.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.05.2013, 23:58 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на тему исчисление высказываний.
Сообщение29.05.2013, 02:42 
Заслуженный участник


16/02/13
3726
Владивосток
Пара мелочей.
arseniiv в сообщении #729482 писал(а):
Обычно к этой системе аксиом изначально приложен только Modus ponens

Обычно к этой — несомненно. Но я встречал где-то и другую систему, к ней был приложен Modus tollens. Впрочем, этот вопрос уже решён.
kola1357 в сообщении #729537 писал(а):
как ставить логическое отрицание в формулах
$\bar X$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group