2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производные в нуле -- степени двойки
Сообщение28.05.2013, 13:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Конечно или бесконечно множество функций $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$, для которых справедливо следующее?
$$\forall n\in\mathbb N_0\quad :\quad f^{(n)}(0)=2^n$$

По-моему, функция $e^{2x}$ удовлетворяет условию.
Как найти хотя бы ещё одну?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производные в нуле -- степени двойки
Сообщение28.05.2013, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Тут это... Возьмём Вашу экспоненту, сразу после 1 её обрежем и пришьём хвост от любой другой функции. (А все производные в 0 останутся как были.) Нравится? Нет? Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производные в нуле -- степени двойки
Сообщение28.05.2013, 13:13 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН в сообщении #729449 писал(а):
Тут это... Возьмём Вашу экспоненту, сразу после 1 её обрежем и пришьём хвост от любой другой функции. (А все производные в 0 останутся как были.) Нравится? Нет? Почему?

Если честно, не очень, потому что такая функция будет определяться через "if".

-- 28.05.2013, 13:19 --

На вопрос задачи она, конечно, отвечает. Однако...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производные в нуле -- степени двойки
Сообщение28.05.2013, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Независимо от того, нравится ли Вам вариант ИСН (т.е. включает Ваше пространство такие функции или нет), есть такой приёмчик. Вы нашли одну подходящую функцию $e^{2x}$, это "частное решение". Сразу же можете обозначить $g(x)=f(x)-e^{2x}$ и переформулировать задачу для $g(x)$:
Цитата:
Конечно или бесконечно множество функций $g\colon\mathbb R\to\mathbb R$, для которых справедливо следующее?
$$\forall n\in\mathbb N_0\quad :\quad g^{(n)}(0)=0$$

По-моему, функция $g(x)=0$ удовлетворяет условию.
Как найти хотя бы ещё одну?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производные в нуле -- степени двойки
Сообщение28.05.2013, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
Ktina в сообщении #729451 писал(а):
Если честно, не очень, потому что такая функция будет определяться через "if".
А почему это плохо?
Могу ещё предложить $$f(x)=\begin{cases}e^{2x}+\alpha e^{-\frac 1{x^2}}\text{, если }x\neq 0,\\ 1\text{, если }x=0\end{cases}$$ ($\alpha$ - любое число).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производные в нуле -- степени двойки
Сообщение28.05.2013, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Неприятная особенность функции "определяется через if" - это гейзенберговский баг. При попытке сформулировать строго, в чём она заключается, она исчезает. Смотрите, функция $y=\begin{cases}0,&x\le0\\ 2x,&x>0\end{cases}$ - это как считается? Через иф? Хорошо, а функция $y=x+|x|$?

-- Вт, 2013-05-28, 14:26 --

А когда Вы введёте дополнительные требования, чтобы отсечь такие случаи, то встречайте конструкцию Someone.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производные в нуле -- степени двойки
Сообщение28.05.2013, 13:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Всем спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group