Производные в нуле -- степени двойки

[Ktina]

Конечно или бесконечно множество функций $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$, для которых справедливо следующее?

$$\forall n\in\mathbb N_0\quad :\quad f^{(n)}(0)=2^n$$

По-моему, функция $e^{2x}$ удовлетворяет условию.
Как найти хотя бы ещё одну?

[ИСН]

Тут это... Возьмём Вашу экспоненту, сразу после 1 её обрежем и пришьём хвост от любой другой функции. (А все производные в 0 останутся как были.) Нравится? Нет? Почему?

[Ktina]

ИСН в сообщении #729449 писал(а):

Тут это... Возьмём Вашу экспоненту, сразу после 1 её обрежем и пришьём хвост от любой другой функции. (А все производные в 0 останутся как были.) Нравится? Нет? Почему?

Если честно, не очень, потому что такая функция будет определяться через "if".

-- 28.05.2013, 13:19 --

На вопрос задачи она, конечно, отвечает. Однако...

[svv]

Независимо от того, нравится ли Вам вариант ИСН (т.е. включает Ваше пространство такие функции или нет), есть такой приёмчик. Вы нашли одну подходящую функцию $e^{2x}$, это "частное решение". Сразу же можете обозначить $g(x)=f(x)-e^{2x}$ и переформулировать задачу для $g(x)$:

Цитата:

Конечно или бесконечно множество функций $g\colon\mathbb R\to\mathbb R$, для которых справедливо следующее?

$$\forall n\in\mathbb N_0\quad :\quad g^{(n)}(0)=0$$

По-моему, функция $g(x)=0$ удовлетворяет условию.
Как найти хотя бы ещё одну?

[Someone]

Ktina в сообщении #729451 писал(а):

Если честно, не очень, потому что такая функция будет определяться через "if".

А почему это плохо?
Могу ещё предложить

$$f(x)=\begin{cases}e^{2x}+\alpha e^{-\frac 1{x^2}}\text{, если }x\neq 0,\\ 1\text{, если }x=0\end{cases}$$

($\alpha$ - любое число).

[ИСН]

Неприятная особенность функции "определяется через if" - это гейзенберговский баг. При попытке сформулировать строго, в чём она заключается, она исчезает. Смотрите, функция $y=\begin{cases}0,&x\le0\\ 2x,&x>0\end{cases}$ - это как считается? Через иф? Хорошо, а функция $y=x+|x|$?

-- Вт, 2013-05-28, 14:26 --

А когда Вы введёте дополнительные требования, чтобы отсечь такие случаи, то встречайте конструкцию Someone.

[Ktina]

Всем спасибо!