Бесконечность. Нужна ли она в математике?

[epros]

Xaositect в сообщении #729312 писал(а):

А вот как Вы будете определять действительное число без бесконечности?

На самом деле этот вопрос решён конструктивным анализом. Действительное число определяется как фундаментальная последовательность рациональных чисел. В свою очередь последовательность определяется вычислимой функцией, определяющей любой n-ный член последовательности.

-- Вт май 28, 2013 11:02:50 --

mustitz в сообщении #729360 писал(а):

В случае конечных моделей мы на автомате простой проверкой всех вариантов получим алгоритм проверки того, является ли то или иное утверждение истинным/доказуемым. По теореме Геделя, такие модели не в состоянии даже описать теорию чисел.

Я не понял какое отношение конечные модели имеют к теории чисел?

-- Вт май 28, 2013 11:20:14 --

binom в сообщении #729295 писал(а):

Натуральные числа существуют не потому что они взяты из какого то множества, а потому что их создают, задают, получают в результате чего либо. Сколько вам нужно, столько их и наделайте. Каких угодно.

А вот множества, которое бы их объединяло, не существует.

Боюсь, что Вы сейчас подняли вопрос, глубину которого сами ещё не оценили. Дело в том, что даже если отказаться от понятия множества, останется ещё понятие свойства — как языковой конструкции: «быть натуральным числом». А про свойства можно судить конечны они или бесконечны — по тому, сколько объектов обладают этим свойством.

binom в сообщении #729295 писал(а):

Вопрос, что после этого потеряет математика? Ничего!

Математика совершенно спокойно может обойтись без такого понятия как множество всех натуральных чисел.

Ну, это вопрос эстетический. Формально можно обойтись без введения многих понятий. Но фактически многим математикам будет без них здорово неудобно.

[binom]

Цитата:

Ну, это вопрос эстетический. Формально можно обойтись без введения многих понятий. Но фактически многим математикам будет без них здорово неудобно.

То есть вы признаете, что без понятия бесконечность можно обойтись, а само это понятие было введено просто для удобства?

Но к чему мы стремимся? К убобству или к правильному и истинному пониманию?

Может быть тогда объявим, что математика с бесконечностью это просто упрощенная версия математики, где нет такого понятия как бесконечность?

[nikvic]

Бесконечность как абсолютное понятие в математике отсутствует. В каждом контексте она свой смысл и может быть элиминирована и используется как сокращение, удобное для восприятия подготовленными собеседниками.
Было бы странно обходиться в языке без местоимений и каждый раз вместо "он" выписывать ФИО, год и место рожения

[master]

binom в сообщении #729395 писал(а):

К убобству или к правильному и истинному пониманию?

И к тому и другому, и зачастую удобство имеет приоритет, ведь человеческая жизнь так коротка.

binom в сообщении #729395 писал(а):

Может быть тогда объявим, что математика с бесконечностью это просто упрощенная версия математики, где нет такого понятия как бесконечность?

бесконечность простая?, ну ну.

[AlexDem]

А сколько точек на отрезке между $0$ и $1$? Сколько знаков после запятой в числе $\sqrt 2$?

[Someone]

binom в сообщении #729395 писал(а):

Но к чему мы стремимся? К убобству или к правильному и истинному пониманию?

К удобству и к правильному пониманию. И всевозможные "бесконечности" этому сильно способствуют. Что такое "истинное понимание", я не знаю.

Вообще, я не понимаю, чего Вы хотите. Изгнать слово "бесконечность" из математики? Это можно, но соответствующие конструкции никуда не денутся. Вам же уже показывали, что бесконечный предел определяется без употребления слова "бесконечность". Это определение никуда не денется, если мы запретим употреблять слово "бесконечность". А пользоваться им будет труднее, да и понимание сильно осложнится из-за того, что, вместо того, чтобы сказать, что предел равен бесконечности, нам придётся каждый раз цитировать определение бесконечного предела. К тому же предлагаемая Вами замена

binom в сообщении #729244 писал(а):

Или например у нас есть нечно, что стремится к бесконечности. Зачем сюда всовывать бесконечность как какое то понятие? Может просто записать, что отсутствует предел, но вовсе не наличиствует некая бесконечность.

весьма нежелательна: "предел не существует" несёт гораздо меньше информации, чем "предел бесконечен". Потому что предел может не существовать и в тех случаях, когда он не равен бесконечности.

binom в сообщении #729395 писал(а):

Может быть тогда объявим, что математика с бесконечностью это просто упрощенная версия математики, где нет такого понятия как бесконечность?

Нет. Я бы сказал, что, напротив, математика, равносильная существующей, но не употребляющая термина "бесконечность" (или равносильного ему), будет существенно сложнее классической из-за того, что всюду придётся заменять термин "бесконечность" соответствующим определением. Ещё раз повторяю, что понятие бесконечности никуда не денется, оно просто замаскируется.

binom в сообщении #729252 писал(а):

Ведь раньше в математике не было такого понятия как бесконечность!
Все было конечным, красивым и понятным.

"Раньше" - это когда? Например, доказательство бесконечности множества простых чисел принадлежит Евклиду. Пусть даже без употребления терминов "множество" и "бесконечность" (я не знаю, как точно формулировал это Евклид).

epros в сообщении #729383 писал(а):

На самом деле этот вопрос решён конструктивным анализом. Действительное число определяется как фундаментальная последовательность рациональных чисел.

Нет. В конструктивном анализе определяются вовсе не действительные числа, а конструктивные действительные числа. И конструктивный анализ вовсе не воспроизводит всех результатов классического анализа.

Xaositect в сообщении #729312 писал(а):

С натуральными числами все понятно, если рассматривать только натуральные числа и вычислимые функции, то все прекрасно делается и без множеств.

Странно. А как залезешь в литературу по конструктивному анализу - там куча всяких множеств. Начиная с множества натуральных чисел. А потом появляются всякие перечислимые, разрешимые, и т.д., и т.п..
Вообще, мне непонятно стремление отказаться от слова "множество". Оно ведь ни в чём не провинилось.

Xaositect в сообщении #729312 писал(а):

Ну, оно во первых ни конечное и ни бесконечное, а "динамичное", правда на сколько я знаю математика не использует такие множества, поэтому просто пределят до верхней границы, которой нету.

Что такое "динамичное множество"?

nikvic в сообщении #729403 писал(а):

Бесконечность как абсолютное понятие в математике отсутствует. В каждом контексте она свой смысл и может быть элиминирована и используется как сокращение, удобное для восприятия подготовленными собеседниками.

Вот именно.

[master]

Someone в сообщении #729413 писал(а):

Что такое "динамичное множество"?

множество с переменной мощностью.

[Someone]

master в сообщении #729419 писал(а):

множество с переменной мощностью.

Если Вы думаете, что Вы что-нибудь определили, то Вы сильно заблуждаетесь. Откуда у множества возьмётся переменная мощность? Согласно существующему определению, она постоянная.

[epros]

binom в сообщении #729395 писал(а):

То есть вы признаете, что без понятия бесконечность можно обойтись, а само это понятие было введено просто для удобства?

Наверное, и без самой математики можно было бы обойтись. А жить на деревьях. Но неудобно это.

binom в сообщении #729395 писал(а):

Но к чему мы стремимся? К убобству или к правильному и истинному пониманию?

Я не знаю что такое «правильное и истинное понимание». Вопросы о бесконечностях ставятся и решаются в рамках некой логики. А логика — это всего лишь способ манипулирования утверждениями. И единая логика нам с Вами нужна для того, чтобы понимать друг друга.

nikvic в сообщении #729403 писал(а):

Бесконечность как абсолютное понятие в математике отсутствует. В каждом контексте она свой смысл

В текущем контексте имелось в виду множество натуральных чисел.

[nikvic]

epros в сообщении #729424 писал(а):

В текущем контексте имелось в виду множество натуральных чисел.

Это - 1/множество, т.е. с ним осмыслены известные опреции,
2/ оно не относится к конечным.
Но можно короче

[master]

Someone в сообщении #729421 писал(а):

Если Вы думаете, что Вы что-нибудь определили, то Вы сильно заблуждаетесь. Откуда у множества возьмётся переменная мощность? Согласно существующему определению, она постоянная.

Тогда, скажите пожайлуста как называется совокупность элементов над которой заданы операции добавление/удаление элемента, и ссылку если можно.

[Someone]

epros в сообщении #729424 писал(а):

nikvic в сообщении #729403 писал(а):

Бесконечность как абсолютное понятие в математике отсутствует. В каждом контексте она свой смысл

В текущем контексте имелось в виду множество натуральных чисел.

Бесконечность множества натуральных чисел означает всего лишь, что $\forall n\exists m(m>n)$.

master в сообщении #729429 писал(а):

Тогда, скажите пожайлуста как называется совокупность элементов над которой заданы операции добавление/удаление элемента, и ссылку если можно.

?
Я не понимаю, о чём Вы спрашиваете. Может быть, Вам поможет учебник теории множеств?

[epros]

Someone в сообщении #729413 писал(а):

epros в сообщении #729383 писал(а):

На самом деле этот вопрос решён конструктивным анализом. Действительное число определяется как фундаментальная последовательность рациональных чисел.

Нет. В конструктивном анализе определяются вовсе не действительные числа, а конструктивные действительные числа. И конструктивный анализ вовсе не воспроизводит всех результатов классического анализа.

Я предвидел такое возражение. По-моему, название «конструктивные действительные числа» — это недоразумение. Ибо никаких других действительных чисел с точки зрения конструктивного анализа не существует. Как не существует и многих прочих «результатов» классического анализа. Классический анализ, конечно, имеет право с этим не соглашаться.

[master]

Someone в сообщении #729433 писал(а):

Может быть, Вам поможет учебник теории множеств?

К сожалению, нет.

Someone в сообщении #729433 писал(а):

Я не понимаю, о чём Вы спрашиваете.

грустно, а я если честно не понимаю,почему Вы не понимаете.(а может так и должно быть).

[Someone]

epros в сообщении #729436 писал(а):

По-моему, название «конструктивные действительные числа» — это недоразумение. Ибо никаких других действительных чисел с точки зрения конструктивного анализа не существует.

Конструктивный анализ - это ещё не вся математика.

И причём здесь конструктивный анализ вообще? Топикстартер о конструктивном анализе до сего момента, скорее всего, и не подозревал. Речь шла о классическом анализе и об определении действительного числа в классическом анализе. Кстати, определение конструктивных действительных чисел тоже без бесконечности не обходится. Уже потому, что речь идёт о последовательностях, определённых для всех натуральных чисел. А их совокупность является бесконечной.

master в сообщении #729438 писал(а):

грустно, а я если честно не понимаю,почему Вы не понимаете.(а может так и должно быть).

Я не телепат, а математик, и если Вы упоминаете некое неизвестное мне понятие, мне требуется его точное определение на математическом языке.