Бесконечность. Нужна ли она в математике?

[binom]

Уважаемые участники форума.

Я считаю и готов доказать, что такое понятие как бесконечность, можно легко изъять из математики и математика от этого нисколько не пострадает.

Может кто-нибудь мне подскажет, в какой области математики, совершенно невозможно обойтись без понятия "бесконечность"?
Везде можно обойтись.

[AV_77]

Нулевым элементом группы точек эллиптической кривой является "бесконечно удаленная" точка.

[arseniiv]

binom в сообщении #729227 писал(а):

Я считаю и готов доказать, что такое понятие как бесконечность, можно легко изъять из математики и математика от этого нисколько не пострадает.

Может кто-нибудь мне подскажет, в какой области математики, совершенно невозможно обойтись без понятия "бесконечность"?
Везде можно обойтись.

В математике их разных много. Бесконечные ординалы — раз, бесконечные кардиналы — два, несобственные элементы расширенной прямой — три, бесконечно удалённая точка проективной прямой и бесконечно удалённые элементы других проективных пространств — четыре, бесконечно большие последовательности — пять и т. д.. Так что если у вас бесконечность всего одна, все бесконечности из математики вы не изымете.

-- Вт май 28, 2013 01:47:52 --

Они все, конечно, кое-как связаны, но не являются одним и тем же.

[binom]

Возьмем самое простое.

Бесконечное множество всех натуральных чисел.

Вопрос зачем придумывать такое множество, если его не существует. И создать его невозможно.

И теперь если у неас встречается какое либо натуральное число, мы так и пишем, что это натуральное число и не нужно писать, что это число принадлежит к множеству всех натуральных чисел.

Или например у нас есть нечно, что стремится к бесконечности. Зачем сюда всовывать бесконечность как какое то понятие? Может просто записать, что отсутствует предел, но вовсе не наличиствует некая бесконечность. Улавливаете разницу?

[AV_77]

binom в сообщении #729244 писал(а):

Или например у нас есть нечно, что стремится к бесконечности. Зачем сюда всовывать бесконечность как какое то понятие? Может просто записать, что отсутствует предел, но вовсе не наличиствует некая бесконечность. Улавливаете разницу?

Пока нет. Запись $\lim f(n) = \infty$ всего лишь означает, что для любого числа $a$ найдется такой номер $n_a$, что $f(n) > a$ при $n > n_a$. Здесь бесконечность лишь удобный символ для обозначения того, что последовательность $f(n)$ с ростом $n$ становится больше любого заранее заданного числа. Давайте чего-нибудь другое.

[binom]

Ведь раньше в математике не было такого понятия как бесконечность!
Все было конечным, красивым и понятным.

Вопрос, какие задачи невозможно было решить без понятия бесконечности?

В математике нет таких задач( в условиях которых нет бесконечности) которые можно решить только с привлечением бесконечности.

Получилась совершенно дурацкая ситуация. Сначала придумали бесконечность, а потом уже на ней нагородили кучу всего остального.

Но если трезво посмотреть на математику, бесконечность убирается легко и безболезненно.

[arseniiv]

binom в сообщении #729244 писал(а):

Вопрос зачем придумывать такое множество, если его не существует.

Определите сначала, что значит «множество не существует».

binom в сообщении #729244 писал(а):

Или например у нас есть нечно, что стремится к бесконечности. Зачем сюда всовывать бесконечность как какое то понятие? Может просто записать, что отсутствует предел, но вовсе не наличиствует некая бесконечность. Улавливаете разницу?

Никто и не всовывает туда бесконечность как какое-то понятие. Пределы совершенно спокойно определяются без какой-то специальной бесконечности — а то что пишут $\lim\cdots = -\infty$ — так некоторые ведь пишут и $a = 1,2,3$. Обозначения могут быть разными — главное, чтобы обозначения разных вещей можно было отличить, и это есть.

Другое дело, что не существование предела и существование бесконечного предела довольно часто нужно различать, и потому, собственно, и вводят определения для последнего. А потом оказывается, что можно считать существующий предел элементом некого множества $\overline{\mathbb R}$, в котором кроме чисел два дополнительных элемента, и что многие операции и отношения можно доопределить на них «осмысленно» так, что они будут согласовываться с теоремами о пределах и упростят их формулировки очень сильно. Содержание этих теорем никак — и это очевидно тому, кто хотел разобраться в этих вопросах о бесконечностях и обозначениях — не изменится.

binom в сообщении #729252 писал(а):

Получилась совершенно дурацкая ситуация. Сначала придумали бесконечность, а потом уже на ней нагородили кучу всего остального.

Объясните же, в чём дурацкость ситуации. Это не очевидно. Что такого страшного нагородили на бесконечности и на какой?

Возможно, вам не нравятся некоторые неконструктивные результаты, когда доказано, что объект существует, но способ его построения не указан? Тогда обратитесь к конструктивной математике, которая оперирует только «построимыми» вещами — но и она оперирует бесконечностями!

[binom]

Самый простой пример это множество всех натуральных чисел. Создатели этого множества, утверждают что в нем бесконечное число членов.

Зачем и для чего создавать бесконечное множество всех натуральных чисел?

Ведь можно просто написать что какое то число натуральное. И все. И не городить огород с бесконечностью.

[arseniiv]

Вы так не объяснили, что же в таких ситуациях кошмарного, почему это огород.

Если лично вам от слов бесконечное множество становится нехорошо — ну замените их на другие. Например, фартук-множество.

binom в сообщении #729269 писал(а):

Самый простой пример это множество всех натуральных чисел. Создатели этого множества, утверждают что в нем бесконечное число членов.

Если вы не согласны, перечислите все натуральные числа. Или, если они не уместятся в сообщение, назовите хотя бы наибольшее — если элементов линейно упорядоченного множества конечное число, среди них есть наибольший (это элементарно доказывается).

Кстати, вы так и не рассказали, почему, по-вашему, это множество не существует, как вы заявляли:

binom в сообщении #729244 писал(а):

Бесконечное множество всех натуральных чисел.

Вопрос зачем придумывать такое множество, если его не существует.

[binom]

arseniiv

Давайте с другой стороны подойдем к вопросу. Итак предположим, что не существует никакого множества всех натуральных чисел.

Натуральные числа существуют не потому что они взяты из какого то множества, а потому что их создают, задают, получают в результате чего либо. Сколько вам нужно, столько их и наделайте. Каких угодно.

А вот множества, которое бы их объединяло, не существует.

Вопрос, что после этого потеряет математика? Ничего!

Математика совершенно спокойно может обойтись без такого понятия как множество всех натуральных чисел.

[warlock66613]

binom, но ведь натуральные числа есть? Вы не хотите называть множество натуральных чисел множеством, потому что бесконечных множеств не существует. Ну давайте назовём это "совокупность". Дальше окажется, что "совокупность" имеет много общего с множествами (конечными), можно будет ввести мощность "совокупности", кардинальное число $\qslant\aleph_0$ и ординал $\omega$, в общем мы всё равно придём к обычной математике с бесконечностями, просто с некоторыми переименованиями.

[g______d]

binom в сообщении #729295 писал(а):

Итак предположим, что не существует никакого множества всех натуральных чисел.

Натуральные числа существуют не потому что они взяты из какого то множества, а потому что их создают, задают, получают в результате чего либо. Сколько вам нужно, столько их и наделайте. Каких угодно.

Вы сейчас довольно точно формулируете доктрину (или как это назвать) потенциальной бесконечности.

[Xaositect]

С натуральными числами все понятно, если рассматривать только натуральные числа и вычислимые функции, то все прекрасно делается и без множеств.

А вот как Вы будете определять действительное число без бесконечности?

[master]

binom в сообщении #729244 писал(а):

Бесконечное множество всех натуральных чисел.

Ну, оно во первых ни конечное и ни бесконечное, а "динамичное", правда на сколько я знаю математика не использует такие множества, поэтому просто пределят до верхней границы, которой нету.

binom в сообщении #729227 писал(а):

Может кто-нибудь мне подскажет, в какой области математики, совершенно невозможно обойтись без понятия "бесконечность"?

Анализ

[mustitz]

binom в сообщении #729227 писал(а):

Может кто-нибудь мне подскажет, в какой области математики, совершенно невозможно обойтись без понятия "бесконечность"?

Математическая логика. В случае конечных моделей мы на автомате простой проверкой всех вариантов получим алгоритм проверки того, является ли то или иное утверждение истинным/доказуемым. По теореме Геделя, такие модели не в состоянии даже описать теорию чисел.


Или ты под высказывание "отказаться от бесконечности" подразумеваешь интуиционизм?