Задача по случайным процессам

[Ward]

Добрый день!

Пусть $\xi, t\geqslant 0$ - пуассоновский процесс и $\eta \equiv 0, t\geqslant 0$ - нулевой процесс. Рассматриваются $\mu^{\xi}$ и $\mu^{\eta}$ на $B^{[0,+\infty)}(\mathbb{R})$. Исследовать отношение этих мер, а именно на $\ll, \gg, \sim, \perp.$

Мое решение:
Пусть $A\in B^{[0,+\infty)}(\mathbb{R})$ такое, что $\mu^{\xi}(A)=0$.
$P_{\xi}\{\xi(t)\equiv 0\}=0$ так как $\forall \varepsilon>0$ $\exists t_0$ такое, что $P\{X_1>t_0\}=e^{-\lambda t_0}<\varepsilon$.
Но $P_{\xi}\{\xi(t)\equiv 0\}\leqslant P\{X_1>t_0\}<\varepsilon$ так как $\{\xi(t)\equiv 0\}\subseteq \{X_1>t_0\}$ так как $\varepsilon>0$ произвольно, то $P_{\xi}\{\xi(t)\equiv 0\}=0$.
1) Пусть $A$ - множество, состоящее из одной нулевой траектории, тогда: $\mu^{\xi}(A)=0$, но $\mu^{\eta}(A)=1$.
Значит, $\m^{\xi}$ не является абсолютно непрерывной относительно $\mu^{\eta}$
2) Теперь рассмотрим множество всех траекторий без нулевой траектории и обозначим его через $B$.
Тогда $\mu^{\eta}(B)=0$, но $\mu^{\xi}(B)=1$.
Значит, $\m^{\eta}$ не является абсолютно непрерывной относительно $\mu^{\xi}$
3) В нулевой траектории у одного мера нулевая, а у другого единичная, т.е. $P\{\xi(t)\equiv 0\}=0, P\{\eta(t)\equiv 0\}=1.$. Но $P\{\xi(t)=\eta(t)\}\neq 1$, а значит эти меры не являются эквивалентными.

Верно ли мое решение? Если да, то скажите пожалуйста как доказать, что эти меры не сингулярны? Честно говоря, в случайных процессах довольно слаб.

[--mS--]

Мало понимаю в процессах, но что Вы точно доказали - так это что эти меры взаимно сингулярны. Чисто по определению. А о какой ещё сингулярности речь? Относительно какой/каких мер?

[Ward]

--mS--
Я ведь доказал:
- эти меры не являются абсолютно непрерывными относительно друг друга.
- не эквивалентные.
Но сингулярность (или как называют "ортогональность") я не доказал.
Хотя мне сказали, что если меры не являются абсолютно непрерывными относительно друг друга, то они будут сингулярными. Но я не знаю какое определение сингулярности.
Да и преподаватель говорит, что сингулярность определяется по-другому.

[--mS--]

См. определение - Ж.Невё "Математические основы теории вероятностей", стр. 155, или Ю.В.Прохоров, Ю.А.Розанов "Теория вероятностей", стр. 109.

[Ward]

--mS--
Спасибо большое!