Условия трансверсальности

[Xbaaf]

Не могу понять, как правильно пользоваться условиями трансверсальности:

Есть задача:

$$ \int_0^T \!(x-\dot x^2)dt , x(0)=0, x(T)=T^2-2. $$

$$ F(t,x, \dot x) =x-\dot x^2 $$

Нахожу нужные производные:

$$F_x=1$$

$$F_{\dot x} = -2\dot x$$

$$\frac{d}{dt}F_{\dot x} = -2\ddot x$$

Составляю уравнение Эйлера:

$$1+2\ddot x=0$$

Коэффициенты ищу:

$$x=c_1t+c_2-\frac{t^2}{4}$$

$$x(0)=0 \Longrightarrow c_2=0$$

А дальше неясно:
Известно, что если есть функционал

$$ J = \int_{t_1}^{t_2} F(t,x.\dot x) dt $$

, и его правый конец движется по кривой $x=\varphi(t)$, то должно выполняться условие трансверсальности -

$$ F(t_2,x_2, \dot x_2) + [\dot \varphi(t_2)-\dot x_2]F_{\dot x}(t_2,x_2, \dot x_2) =0 $$

,где $x_2=x(t_2)$

Я думаю, что $\varphi(t)$ в нашем случае равно $T^2-2$, но как этим воспользоваться, не понимаю.
Конкретно: если $x_2=x(t_2), t_2=T$, то у меня оно получается равным $\dot \varphi(t_2)$, и смысл условия трансверсальности пропадает.

[mihiv]

$\varphi (T)=T^2-2,x(t_2)=x(T)=c_1T-\frac {T^2}4$

[Xbaaf]

mihiv в сообщении #728957 писал(а):

$\varphi (T)=T^2-2,x(t_2)=x(T)=c_1T-\frac {T^2}4$

Да, согласен, и я до этого дошёл, но как отсюда найти отдельно $c_1$ или $T$? Уравнение для их зависимости я уже получил, вот оно - ${c_1}^2-4c_1T+2T^2=0$

[mihiv]

Кроме этого, должно выполняться равенство $x(T)=\varphi (T)$.

[Xbaaf]

mihiv в сообщении #729037 писал(а):

Кроме этого, должно выполняться равенство $x(T)=\varphi (T)$.

Да, согласен.
Берём то уравнение, которое я выписал:
${c_1}^2-4c_1T+2T^2=0$
Решаем относительно $T$, получаем $c_1_{1,2} = (2 \pm \sqrt{2})T$ -- это зависимость $c_1$ от $T$ мне кажется неправильной.
берём уравнение для $x$: $x=c_1t-\frac{t^2}{4}$ и $x(T)=\varphi (T)$.
Подставляем нужные значения, решаем относительно $T$, получаем два варианта:
$T^2(\pm \sqrt{2}+\frac{3}{4}) = -2 $. В первом случае $T \in \mathbb C$, а во втором получается громоздкое выражение, и значений $T$ может быть 2.
Всё это мне не нравится, и я думаю, что есть более простое и красивое решение, но пока до него не додумался.

[svv]

Xbaaf писал(а):

Решаем относительно $T$, получаем $c_1_{1,2} = (2 \pm \sqrt{2}T)$ -- это зависимость $c_1$ от $T$ мне кажется неправильной.

Скорее $c_1=(2 \pm \sqrt{2})T$.

Проще вряд ли.

[Xbaaf]

svv в сообщении #729050 писал(а):

Xbaaf писал(а):

Решаем относительно $T$, получаем $c_1_{1,2} = (2 \pm \sqrt{2}T)$ -- это зависимость $c_1$ от $T$ мне кажется неправильной.

Скорее $c_1=(2 \pm \sqrt{2})T$.

Проще вряд ли.

Я имел в виду $c_{1_{1,2}}$. Да, выражение получается простое, но, как я говорил, завивсимость
$c_1$ от $T$ мне кажется неправильной: они, по-моему, друг от друга зависеть не должны.

[svv]

Я тоже имел в виду $c_{1_{1,2}}$, я делал акцент на правильности скобок, у меня скобки иначе.
$c_1$ и не зависит от $T$ -- в том смысле, что при учете всех уравнений как $c_1$, так и $T$ принимают определенное значение (или одно из нескольких значений) и "шевелиться" не могут.

Просто уравнение ${c_1}^2-4c_1T+2T^2=0$ -- это ещё не всё, что можно использовать, и из него нельзя найти, чему равны $c_1$ и $T$ по отдельности, а можно извлечь меньшую информацию -- чему равно отношение $c_1/T$. Это надо понимать не в том смысле, что $c_1$ пропорционально $T$, а в том, что их неизвестные фиксированные значения удовлетворяют такому-то соотношению (но и многим другим).

[Xbaaf]

да, скобки должны быть, как у вас, спасибо.

ладно, попробую смотреть на это по-вашему

[svv]

Попробуйте!
Представьте плоскость с декартовыми координатами $T, c_1$. Тогда каждое решение нашей системы уравнений относительно $T, c_1$ будет точкой. Если решений несколько -- будет несколько возможных точек. Но не более того: тот факт, что из одного уравнения системы получается $c_1/T=k$, означает только, что соответствующая точка находится на линии $c_1=kT$, но вовсе не означает, что точка может ездить по этой линии как угодно.

Из другого уравнения можно получить, что та же точка находится ещё и на линии $c_1 T-\frac {T^2}4 = T^2 -2$. Но, как Вы понимаете, это не значит, что между $c_1$ и $T$ есть ещё и такая зависимость.

Кстати, замените слово "зависимость" на "соотношение", и будет правильно.

[Xbaaf]

Я согласен, что $c_1$ и $T$ связаны указанными соотношеними, но привычка к стройным выражениям для ответов берёт своё.

[svv]

У Вас не получилось каких-то явных выражений для $c_1, T$ (пусть несколько решений), или же получились, но Вам не нравится, что они сложные и некрасивые, типа корень под корнем?

[Xbaaf]

У меня получилось $T_{1,2} = \pm \sqrt {\frac{32\sqrt{3}+24}{23}}$, что позволяет вычислить $c_1$ (вообще говоря, 4 разных штуки). Так что да, мне не нравятся корни под корнем.

[svv]

Ну, тогда всё в порядке. Я, правда, не проверял ваш ответ в деталях, но 23 в знаменателе и корень под корнем там точно будут.

По-моему, структура формулы уже показывает, что на более красивое решение вряд ли можно надеяться.

[Xbaaf]

Ладно, пусть будет так.

(Оффтоп)

Лучше, чем находить коэффициенты из моего соседнего треда