Мат. ожидание и дисперсия min и max показ. распред.

[misha89]

Otta, у меня получилась частичная сумма гармонического ряда, только я по-другому все-таки сделал. Через интеграл.

Как мне теперь посчитать эту сумму?
То есть мат. ож. максимума теперь равно
$M(x_{(n)})=\sum_0^n {\frac{1}{k}}$

И еще такой вопрос: для нахождения диперсии надо знать плотность совместного распред-ния....
$M(\theta_2^2)=M(\frac{x_{(1)}^2+2x_{(1)}x_{(n)}^2}{2})=\frac{M(x_{(1)}^2)+2M(x_{(1)}x_{(n)})+M(x_{(n)}^2)}{2}$

Для мат ож от квадрата минимума и максимума я не нашел никаких свойств, подскажите что искать?
А для совместного мат ож я вот что нашел:
$M(x_{(1)}x_{(n)})=\int_0^\infty x(\int_0^\infty x p(x_{(1)})p(x_{(n)}) dx)dx $
В силу непрерывности и независимости случайных величин.

Правильно?

Подскажите, что делать с гармоническим рядом и с мат ожиданием от квадрата, пожалуйста.

[Otta]

misha89 в сообщении #728834 писал(а):

у меня получилась частичная сумма гармонического ряда, только я по-другому все-таки сделал. Через интеграл.

Вот и ладушки.

misha89 в сообщении #728834 писал(а):

Как мне теперь посчитать эту сумму?

Никак. Лучше не будет. Эта сумма (только ноль из знаменателя уберите там) и называется n-м гармоническим числом. Посмотрите в Википедии соотв. раздел. Можете написать $=H_n$ и на этом успокоиться.

[misha89]

Otta в сообщении #728837 писал(а):

misha89 в сообщении #728834 писал(а):

misha89 в сообщении #728834 писал(а):

Как мне теперь посчитать эту сумму?

Никак. Лучше не будет. Эта сумма (только ноль из знаменателя уберите там) и называется n-м гармоническим числом. Посмотрите в Википедии соотв. раздел. Можете написать $=H_n$ и на этом успокоиться.

Получается какое-то незавершенное мат ожидание максимума...

$M(x_{(n)})=\frac{1}{an}+H_n$

Цитата:

И еще такой вопрос: для нахождения диперсии надо знать плотность совместного распред-ния....
$M(\theta_2^2)=M(\frac{x_{(1)}^2+2x_{(1)}x_{(n)}^2}{2})=\frac{M(x_{(1)}^2)+2M(x_{(1)}x_{(n)})+M(x_{(n)}^2)}{2}$

Для мат ож от квадрата минимума и максимума я не нашел никаких свойств, подскажите что искать?
А для совместного мат ож я вот что нашел:
$M(x_{(1)}x_{(n)})=\int_0^\infty x(\int_0^\infty x p(x_{(1)})p(x_{(n)}) dx)dx $
В силу непрерывности и независимости случайных величин.

[Otta]

misha89 в сообщении #728834 писал(а):

А для совместного мат ож я вот что нашел:
$M(x_{(1)}x_{(n)})=\int_0^\infty x(\int_0^\infty x p(x_{(1)})p(x_{(n)}) dx)dx $
В силу непрерывности и независимости случайных величин.

Правильно?

Неа. Кто Вам сказал, что они независимы? И потом, запись дурная, в повторном интеграле разные переменные для каждого интегрирования берут. А тут икс два раза.

Вы правильно сказали, нужна плотность совместного распределения. Можете ее найти.
Но для начала: почему Вы не попробуете найти плотность $\theta_2$? Может, это будет гораздо проще? Хотя, впрочем, для нее тоже нужно совместное распределение.

-- 27.05.2013, 07:20 --

misha89 в сообщении #728838 писал(а):

Получается какое-то незавершенное мат ожидание максимума...

Откуда там $1/an$? $H_n$ это что такое, по-Вашему?

Кстати, куда делся параметр в Вашем исходном значении матожидания?

[misha89]

Otta в сообщении #728839 писал(а):

misha89 в сообщении #728838 писал(а):

Получается какое-то незавершенное мат ожидание максимума...

Откуда там $1/an$? $H_n$ это что такое, по-Вашему?

Кстати, куда делся параметр в Вашем исходном значении матожидания?

Я даже неправильно немного написал мат ожидание.
Мат ожидание оценки равно полусумме максимума и минимума.
$M(\min)=\frac{1}{an} M(\max)=H_n M(\theta)=\frac{1}{2}(\frac{1}{an}+H_n)$
Выходит так.

misha89 в сообщении #720542 писал(а):

Доброго времени суток, у меня есть задание:
$Пусть $x_{(1)}, ..., x_{(n)} -$ вариационный ряд, построенный по выборке $x_1, ..., x_n$, где $x_k$ независимы и имеют показательное распределение с параметром $a$. Найти математическое ожидание и дисперсию оценки $\hat{\theta_2}=\frac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2}.$

Вот с чего я решил, что они независимы:)
$M(x_{(1)},x_{(n)})=\int y\int_R tp(t)p(y)dt dy$
Так? Границы интегрирования все те же? 0 и бесконечность?

Цитата:

Вы правильно сказали, нужна плотность совместного распределения. Можете ее найти.
Но для начала: почему Вы не попробуете найти плотность $\theta_2$? Может, это будет гораздо проще?

Для чего? Чтобы сначала найти плотность от оценки, потом от ее квадрата?
Я же приду к совместному в итоге.

Тогда как должна выглядеть плотность совместного распределения?
Везде только теория написана
Насколько я понимаю, так должны выглядеть плотность для квадрата минимума
$F_x_{(1)},x_{(1)}=P\{x_{(1)}<t,x_{(1)}<y\}=\int\int_R p(t,y)dt dy$

[Otta]

misha89 в сообщении #728841 писал(а):

Вот с чего я решил, что они независимы:)

Извиняйте, там все наоборот. Если случайные величины независимы, то выполняется свойство мультипликативности матожидания. Нет?
И м/о максимума правильно напишите, третий раз говорю.
UPD: А, Вы про условие. А какие случайные величины независимы по условию? Ваши?

misha89 в сообщении #728841 писал(а):

Везде только теория написана

Ну прям так уж и везде. А на занятия Вы совсем-совсем не ходите?
Вот эту самую функцию совместного распределения и найдите сперва. По ней можно будет найти плотность. Посмотрите, как.
А если хочется пользоваться независимостью, которой никто не обещал, и не факт, что она есть, то ее придется сперва доказывать. Определение знаете? ;)

-- 27.05.2013, 08:21 --

misha89 в сообщении #728841 писал(а):

Насколько я понимаю, так должны выглядеть плотность для квадрата минимума

Не должна. Квадрат случайной величины - случайная величина, с чего бы вдруг у нее функция распределения стала зависеть от двух переменных. И тем более быть интегралом от плотности. На который страшно смотреть: интегрирование по двум переменным, область интегрирования одномерна.

-- 27.05.2013, 08:26 --

misha89 в сообщении #728841 писал(а):

Для чего? Чтобы сначала найти плотность от оценки, потом от ее квадрата?
Я же приду к совместному в итоге.

Правильно.

[misha89]

Otta в сообщении #728842 писал(а):

Извиняйте, там все наоборот. Если случайные величины независимы, то выполняется свойство мультипликативности матожидания. Нет?
UPD: А, Вы про условие. А какие случайные величины независимы по условию? Ваши?

Я тоже думал, что мат ожидание от произведения независимых равно произведению мат ожиданий этих самых величин, но почему-то препод сказал нет. Но зато намекнул на то, что плотность х1хn будет равна произведению плотностей.
А насчет м/о квадрата макс/мин мне сказали заюзать свойства м/о, но я ничего не нашел, что подошло бы.
Да, мои.

Цитата:

А если хочется пользоваться независимостью, которой никто не обещал, и не факт, что она есть, то ее придется сперва доказывать.

А зачем доказывать, если это дано в условии?

Цитата:

И м/о максимума правильно напишите, третий раз говорю.

$M(\theta_2)=\frac{1}{2a}(H_n+\frac{1}{n}))$

Цитата:

Вот эту самую функцию совместного распределения и найдите сперва. По ней можно будет найти плотность. Посмотрите, как.

Okaaay

[Otta]

Матожидание вроде теперь в порядке, если я ничего не прозевала.

misha89 в сообщении #728848 писал(а):

Я тоже думал, что мат ожидание от произведения независимых равно произведению мат ожиданий этих самых величин, но почему-то препод сказал нет.

Вы думали правильно, но сейчас Вам это не пригодится. Ибо

misha89 в сообщении #728848 писал(а):

Да, мои.

с фига ли? В условии совсем другие случайные величины. Начнем с того, что у них даже распределение другое. Поэтому

misha89 в сообщении #728848 писал(а):

А зачем доказывать, если это дано в условии?

не дано.

misha89 в сообщении #728848 писал(а):

Но зато намекнул на то, что плотность х1хn будет равна произведению плотностей.

Какая плотность? плотность произведения или совместная? напишите хорошо. $x_{(1)}$ или $x_1$?

[misha89]

Otta в сообщении #728850 писал(а):

с фига ли? В условии совсем другие случайные величины. Начнем с того, что у них даже распределение другое.

Значит задача усложняется...
Чтобы доказать независимость, надо доказать, что совместная функция распред-ния равна произведению функций.
Для этого надо найти как раз совместную функцию распределения.
$F(x_{(1)},x_{(n)})=P\{x_{(1)}<t, x_{(n)}<y\}=?=(1-e^{-at})^n(1-(e^{-ay})^n)?$
Я Гмурмана читал, там дурацкие примеры: либо величины независимые, либо все дано.

Цитата:

misha89 в сообщении #728848 писал(а):

Но зато намекнул на то, что плотность х1хn будет равна произведению плотностей.

Какая плотность? плотность произведения или совместная? напишите хорошо. $x_{(1)}$ или $x_1$?

Вот на что намекнул препод
$p(x_{(1)}x_{(n)})=p(x_{(1)})p(x_{(n)})$

[Otta]

misha89 в сообщении #728852 писал(а):

Чтобы доказать независимость, надо доказать, что совместная функция распред-ния равна произведению функций. Для этого надо найти как раз совместную функцию распределения.

Вот именно.

Цитата:

$F(x_{(1)},x_{(n)})=P\{x_{(1)}<t, x_{(n)}<y\}=?=(1-e^{-at})^n(1-(e^{-ay})^n)?$

А это уже неверно. Определение верно, дальше нет. Дальше Вы пользуетесь тем, вероятность выполнения Ваших двух условий - это произведение вероятностей. А это верно когда?

Берите определение функции распределения и считайте честно. Так нарядно не получится. Пример наройте где-нибудь, не справитесь Вы с ходу. Сперва что-нить попроще решите.

Цитата:

Вот на что намекнул препод
$p(x_{(1)}x_{(n)})=p(x_{(1)})p(x_{(n)})$

И что это у Вас - в плотность случайную величину подставляем? Давайте у нас как положено, плотность будет на $R$ определена.

[--mS--]

misha89 в сообщении #728852 писал(а):

Чтобы доказать независимость, надо доказать, что совместная функция распред-ния равна произведению функций.
Для этого надо найти как раз совместную функцию распределения.
$F(x_{(1)},x_{(n)})=P\{x_{(1)}<t, x_{(n)}<y\}=?=(1-e^{-at})^n(1-(e^{-ay})^n)?$
Я Гмурмана читал, там дурацкие примеры: либо величины независимые, либо все дано.

Да не равна она произведению. Двадцать пятый раз: величины зависимы! Свяжите $\mathsf P\{x_{(1)}<t, x_{(n)}<y\}$ и $\mathsf P\{x_{(1)}\geqslant t, x_{(n)}<y\}$ и вычислите последнюю.

(Оффтоп)

Вам не кажется, что Гмурман и задачи, которые Вам дают, - немного разного уровня? Почитайте учебники поумнее.

[misha89]

Otta в сообщении #728856 писал(а):

$p(x_{(1)}x_{(n)})=p(x_{(1)})p(x_{(n)})$
И что это у Вас - в плотность случайную величину подставляем? Давайте у нас как положено, плотность будет на $R$ определена.

$p_{x_{(1)}x_{(n)}}(x_1,x_2)=p_{x_{(1)}}(x_1)p_{x_{(n)}}(x_2)$

Цитата:

Да не равна она произведению. Двадцать пятый раз: величины зависимы! Свяжите $\mathsf P\{x_{(1)}<t, x_{(n)}<y\}$ и $\mathsf P\{x_{(1)}\geqslant t, x_{(n)}<y\}$ и вычислите последнюю.

Если бы я знал, как связывать, то связал бы наверно.
Гадать не хочется, но раз $x_{(1)}\geqslant t$, то наверно появится $1-P\{x_{(1)}\geqslant t, x_{(n)}<y\}1-(1-e^{-ayt})^n$ Я правда без понятия(

[Otta]

misha89 в сообщении #728860 писал(а):

$p_{x_{(1)}x_{(n)}}(x_1,x_2)=p_{x_{(1)}}(x_1)p_{x_{(n)}}(x_2)$

Вооот.
А это как раз одно из определений независимости для абсолютно непрерывных случайных величин. То есть равенство верно, если и только если с.в. независимы.

Цитата:

Цитата:

Да не равна она произведению. Двадцать пятый раз: величины зависимы! Свяжите $\mathsf P\{x_{(1)}<t, x_{(n)}<y\}$ и $\mathsf P\{x_{(1)}\geqslant t, x_{(n)}<y\}$ и вычислите последнюю.

Если бы я знал, как связывать, то связал бы наверно.

Не, ну похоже, придется почитать немножко. На самом деле, хватило бы подумать, но Вы от одних обозначений, похоже, в ступор приходите.
Хорошо, последний раз намекаю: как выразить событие $\{\xi<x, \eta<y\}$ через $\{\xi\geqslant x, \eta<y\}$ ? Если не выражается, то идем читать. И думать.