Допустимые экстремали и коэффициенты в формулах для них

[Xbaaf]

Есть задача теории управления, а точнее, задача вариационного исчисления - нужно найти допустимые экстремали функционала, при том, что даны начальные условия для определения постоянных:

$$ \int_{-2}^2 \! (x_1^2+4x_1x_2+x_2^2-\dot x_1^2 - \dot x_2^2+2x_1e^{-2t})dt , x_1(-2)=3, x_1(2)=1, x_2(-2)=0, x_2(2)=2. $$

Я решал эту задачу следующим образом:
Выделил функцию:

$$ F(t,x_1,\dot x_1,x_2,\dot x_2) = x_1^2+4x_1x_2+x_2^2-\dot x_1^2 - \dot x_2^2+2x_1e^{-2t}; $$

Вычислил нужные производные и составил из них систему уравнений Эйлера:
$F_{x_1} = 2x_1+4x_2+2e^{-2t}$
$F_{x_2} = 4x_1+2x_2$
$F_{\dot x_1} = -2 \dot x_1$
$F_{\dot x_2} = -2 \dot x_2$
$\frac{d}{dt} F_{\dot x_1} = -2\ddot x_1$
$\frac{d}{dt} F_{\dot x_2} = -2\ddot x_2$

составил систему:

$$ 2x_1+4x_2+2e^{-2t}+2 \ddot x_1=0 $$

$$ 4x_1+2x_2+2 \ddot x_2=0 $$

Решая эту систему, получаем решение для $x_1$ и $x_2$ следующего вида:

$$ x_1=c_2(3e^t+2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+ c_4(3e^t-2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+c_1(e^t+2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) +c_3(e^t-2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) - \frac{5}{ 21}e^{-2t} $$

$$ x_2=c_2(3e^t-2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+ c_4(3e^t+2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+c_1(e^t-2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) +c_3(e^t+2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) + \frac{2}{ 21}e^{-2t} $$

Спрашивается, есть ли простой способ найти константы $c_1$ - $c_4$ с учётом начальных условий, или выражения для них неизбежно будут такими же громоздкими, как и уравнения для $x_1$, $x_2$?

[svv]

Как-то странно, что в подынтегральной функции не привели подобные и два раза подряд идёт $-\dot x_2^2$. Какой смысл в таком запутывании, не пятый класс же.

Не ошиблись с индексами? Вероятно, автор задачи имел в виду $-\dot x_1^2-\dot x_2^2$.

[ИСН]

Вы проделали всё это - и ещё жалуетесь на какую-то сложность?

(Оффтоп)

"Здравствуйте, меня зовут Иван Говнов, я хотел бы сменить имя на Эдуард."

Вызывает некоторое беспокойство, что $e^{2t}$ сначала превратилось в $e^{-2t}$, а потом вовсе куда-то исчезло.

[Xbaaf]

Индексы и $e^{-2t}$ поправил, спасибо.

[svv]

Я бы, во-первых, вместо $x_1$ и $x_2$ писал $x$ и $y$ -- так и читать, и писать, и думать легче:
$\ddot x+x+2y=-e^{-2t}$
$\ddot y+y+2x=0$

Теперь надо сложить эти уравнения и вычесть. После чего обозначить $x+y=u$, $x-y=v$. Через эти же переменные выразим граничные условия.
$\ddot u+3u=-e^{-2t}, \quad u(-2)=3, \quad u(2)=3$
$\ddot v-v=-e^{-2t}, \quad v(-2)=3, \quad v(2)=-1$

Как видите, в одно уравнение входит только $u$, в другое только $v$, и их можно решать независимо. Это приятнее. Конечно, не всегда так легко получается, но такой случай надо иметь в виду.

[Xbaaf]

svv в сообщении #728679 писал(а):

Я бы, во-первых, вместо $x_1$ и $x_2$ писал $x$ и $y$ -- так и читать, и писать, и думать легче:
$\ddot x+x+2y=-e^{-2t}$
$\ddot y+y+2x=0$

Теперь надо сложить эти уравнения и вычесть.

Спасибо, я об этом не подумал

Попробовал, но решения получаются такие же ужасные, как и раньше. Буду считать, что это неизбежно.