2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Допустимые экстремали и коэффициенты в формулах для них
Сообщение26.05.2013, 17:18 
Аватара пользователя
Есть задача теории управления, а точнее, задача вариационного исчисления - нужно найти допустимые экстремали функционала, при том, что даны начальные условия для определения постоянных:
$$
\int_{-2}^2 \! (x_1^2+4x_1x_2+x_2^2-\dot x_1^2 - \dot x_2^2+2x_1e^{-2t})dt , x_1(-2)=3, x_1(2)=1, x_2(-2)=0, x_2(2)=2.
$$

Я решал эту задачу следующим образом:
Выделил функцию:
$$
F(t,x_1,\dot x_1,x_2,\dot x_2) = x_1^2+4x_1x_2+x_2^2-\dot x_1^2 - \dot x_2^2+2x_1e^{-2t};
$$

Вычислил нужные производные и составил из них систему уравнений Эйлера:
$F_{x_1} = 2x_1+4x_2+2e^{-2t}$
$F_{x_2} = 4x_1+2x_2$
$F_{\dot x_1} = -2 \dot x_1$
$F_{\dot x_2} = -2 \dot x_2$
$\frac{d}{dt} F_{\dot x_1} = -2\ddot x_1$
$\frac{d}{dt} F_{\dot x_2} = -2\ddot x_2$

составил систему:
$$
2x_1+4x_2+2e^{-2t}+2 \ddot x_1=0
$$
$$
4x_1+2x_2+2 \ddot x_2=0
$$

Решая эту систему, получаем решение для $x_1$ и $x_2$ следующего вида:
$$
x_1=c_2(3e^t+2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+ c_4(3e^t-2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+c_1(e^t+2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) +c_3(e^t-2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) - \frac{5}{ 21}e^{-2t}
$$

$$
x_2=c_2(3e^t-2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+ c_4(3e^t+2\sqrt{3} \sin\sqrt{3}t - \frac{3}{e^t})+c_1(e^t-2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) +c_3(e^t+2 \cos\sqrt{3}t + \frac{1}{e^t}) + \frac{2}{ 21}e^{-2t}
$$

Спрашивается, есть ли простой способ найти константы $c_1$ - $c_4$ с учётом начальных условий, или выражения для них неизбежно будут такими же громоздкими, как и уравнения для $x_1$, $x_2$?

 
 
 
 Re: Допустимые экстремали и коэффициенты в формулах для них
Сообщение26.05.2013, 17:24 
Аватара пользователя
Как-то странно, что в подынтегральной функции не привели подобные и два раза подряд идёт $-\dot x_2^2$. Какой смысл в таком запутывании, не пятый класс же.

Не ошиблись с индексами? Вероятно, автор задачи имел в виду $-\dot x_1^2-\dot x_2^2$.

 
 
 
 Re: Допустимые экстремали и коэффициенты в формулах для них
Сообщение26.05.2013, 17:30 
Аватара пользователя
Вы проделали всё это - и ещё жалуетесь на какую-то сложность? :D

(Оффтоп)

"Здравствуйте, меня зовут Иван Говнов, я хотел бы сменить имя на Эдуард."

Вызывает некоторое беспокойство, что $e^{2t}$ сначала превратилось в $e^{-2t}$, а потом вовсе куда-то исчезло.

 
 
 
 Re: Допустимые экстремали и коэффициенты в формулах для них
Сообщение26.05.2013, 17:41 
Аватара пользователя
Индексы и $e^{-2t}$ поправил, спасибо.

 
 
 
 Re: Допустимые экстремали и коэффициенты в формулах для них
Сообщение26.05.2013, 19:24 
Аватара пользователя
Я бы, во-первых, вместо $x_1$ и $x_2$ писал $x$ и $y$ -- так и читать, и писать, и думать легче:
$\ddot x+x+2y=-e^{-2t}$
$\ddot y+y+2x=0$

Теперь надо сложить эти уравнения и вычесть. После чего обозначить $x+y=u$, $x-y=v$. Через эти же переменные выразим граничные условия.
$\ddot u+3u=-e^{-2t}, \quad u(-2)=3, \quad u(2)=3$
$\ddot v-v=-e^{-2t}, \quad v(-2)=3, \quad v(2)=-1$

Как видите, в одно уравнение входит только $u$, в другое только $v$, и их можно решать независимо. Это приятнее. Конечно, не всегда так легко получается, но такой случай надо иметь в виду.

 
 
 
 Re: Допустимые экстремали и коэффициенты в формулах для них
Сообщение26.05.2013, 19:34 
Аватара пользователя
svv в сообщении #728679 писал(а):
Я бы, во-первых, вместо $x_1$ и $x_2$ писал $x$ и $y$ -- так и читать, и писать, и думать легче:
$\ddot x+x+2y=-e^{-2t}$
$\ddot y+y+2x=0$

Теперь надо сложить эти уравнения и вычесть.


Спасибо, я об этом не подумал :-)

Попробовал, но решения получаются такие же ужасные, как и раньше. Буду считать, что это неизбежно.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group