Изоморфизм

[sopor]

Надо выяснить, чему изоморфна $\mathbb Z \times \mathbb Z /\lbrace (6a,10a)|a \in \mathbb Z \rbrace$. Я придумал гомоморфизм $\varphi : (x,y) \rightarrow (x \mod 6,5x-3y)$.
Проверил, что это гомоморфизм, и что ядро вроде бы как раз то, что нам нужно, но чему изоморфен образ? Этого никак понять не могу. Это какая-то группа, но я не знаю, как она выражается. Я такой группы раньше не встречал. Подскажите, пожалуйста.

[Joker_vD]

$\{(6a,10a)\mid a\in\mathbb Z\}$? Это вообще идеал?

[sopor]

Мы ищем факторгруппу

[AV_77]

Здесь надо в $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ другой базис выбрать вместо стандартного $\{(1, 0), (0, 1) \}$, подумайте какой, и получится $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_n$ для некоторого $n$.

[sopor]

Вроде получилось, что образ изоморфен $\mathbb Z_{6} \times 3\mathbb Z$
Верно ли это?

[AV_77]

Нет.

[sopor]

А чем вообще поможет смена базиса? Как это использовать?

[AV_77]

sopor в сообщении #728312 писал(а):

А чем вообще поможет смена базиса?

Если выбрать правильный базис, то будет понятно, чему изоморфна факторгруппа.