Вопрос по числовым последовательностям

[AlexeyS]

Известно, что последовательности $x_n$ и $y_n$ сходятся, причем $x_n>0$ и $y_n>0$. Сходится ли последовательность $z_n = {x_n}^{y_n}$? Есть такое ощущение, что $z_n$ может и не сходиться, но не могу придумать пример

[Otta]

А Вы прологарифмируйте. Авось и просветлеет.

(Оффтоп)

И формулы оформите, как положено, а то недолго Ваша тема тут пробудет.

[AlexeyS]

Я логарифмировал. $\ln{z_n}={y_n}\ln{x_n}$. даже если $\lim{x_n}=0$, то это тоже не значит, что предела не существует. Пробовал разные варианты для $y_n$, $x_n$. все время получается, что предел есть

[Otta]

AlexeyS в сообщении #728103 писал(а):

то это тоже не значит, что предела не существует

Не значит. А значит, что существует?
Вы же пример собирались придумывать, хотя бы один, а не доказывать несуществование для всех (некоторых) типов последовательностей.

[AlexeyS]

Ну вот даже после логарифмирования пример не получается придумать. Если обе последовательности стремятся к нулю, то получатся, что $z_n$ стремится либо к нулю, либо к единице. а если они стремятся к каким-то положительным константам, то и $z_n$ тоже положительная константа. Другие примеры в голову не приходят

[ewert]

Рассмотрите отдельно два случая -- когда иксы стремятся к нулю и когда не к нулю. В одном из случаев логарифмирование полезно, в другом вредно.

[AlexeyS]

Когда иксы стремятся не к нулю, то получается, что предел $z_n$ это положительная константа в какой-то неотрицательной степени, т.е. предел есть.
Когда иксы стремятся к нулю, то если $y_n$ стремится не к нулю, то $z_n$ стремится к нулю. Если и иксы, и игреки стремятся одновременно к нулю, то у меня получается, что $\lim{z_n}$ равен либо 0, либо единице. Другие примеры мне в голову не приходят что-то

[ewert]

AlexeyS в сообщении #728142 писал(а):

Если и иксы, и игреки стремятся одновременно к нулю, то у меня получается, что $\lim{z_n}$ равен либо 0, либо единице.

Не обязательно.

[ИСН]

Однако же это странно. Либо нулю, либо единице! А между ними что, никак нельзя попасть?

[AlexeyS]

Можно и между нулем и единицей попасть. Но у меня никак не получается попасть так, чтобы предел не существовал

[ewert]

AlexeyS в сообщении #728145 писал(а):

Но у меня никак не получается попасть так, чтобы предел не существовал

Ну вот Вы утверждаете, что есть пара последовательностей, дающих ноль, и другая пара, дающая единицу. Конечно, такие пары нужно предъявить; предположим, Вы это сделали. Тогда остаётся лишь скомбинировать из этих двух пар третью.

[ИСН]

У этой третьей не будет $y_n>0$.

-- Сб, 2013-05-25, 12:40 --

(в смысле, если Вы на бесконечность нацеливаетесь)

[ewert]

ИСН в сообщении #728148 писал(а):

в смысле, если Вы на бесконечность нацеливаетесь

Нет, конечно. Зачем мне бесконечность?

[ИСН]

А, ну да, разумеется.
AlexeyS, а бывает так, чтобы последовательность всё время была между нулём и единицей - а предела не было?

[Otta]

ewert в сообщении #728114 писал(а):

В одном из случаев логарифмирование полезно, в другом вредно.

Оно полезно исключительно с тем, чтобы увидеть, где полезут проблемы. Что мной и предполагалось.
А пример, конечно, опосля этих выяснений проще так составить, согласна.