График эйконал для атмосферы Земли(численно)

[romka1103]

$(\triangledown S)^{2}=n^{2}k^{2}$ -эйконал
$(\frac{\partial s}{\partial z})^2=k^2n_0^2(1-2k_0\frac{z}{h})$
где $z$-высота, $k$-$const$, $h$-полная высота, $k_0 <<1$
$n=n_0(1-k_0\frac{z}{h})$
Найти $S$-эйконал
$h=150$ (километров)
$n_0 =1.3$
$k_0 =0.01$
$k=1$
$S(150)=1$
построить график для атмосферы Земли
подскажите как решить численно ДУ?! (каким методом)
Не пойму как свои начальные условия -каков шаг? и каково $S(0)$?какие пределы?
Есть идеи по поводу решения высказывайте любые

[svv]

$(\nabla S)^{2}=\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2=k^{2}n^{2}(z)$
Так как $S$ зависит только от $z$, можно вместо частной писать полную производную.
$\left(\frac{dS}{dz}\right)^2=k^{2}n^{2}(z)$
Избавляемся от квадратов.
$\frac{dS}{dz}=\pm kn(z)$
Так как $S$ -- это фаза, а фаза растет в направлении распространения волны, надо взять знак "плюс", если волна распространяется от поверхности Земли в космос, и "минус", если из космоса к Земле. Допустим, что имеет место второй вариант.
$\frac{dS}{dz}=-kn(z)$
Отсюда
$S(z_2)-S(z_1)=-k\int\limits_{z_1}^{z_2} n(z) dz=-kn_0 \int\limits_{z_1}^{z_2} (1-c\frac z h) dz$,
и никакого ДУ нет -- только элементарный интеграл.

Я написал $c$ вместо Вашего $k_0$, потому что $k_0$ -- это волновое число, оно имеет прямое отношение к уравнению эйконала, нехорошо использовать это обозначение для других величин. А Ваше $k_0$ -- это просто безразмерный коэффициент в выражении для $n(z)$.

Вам в качестве самостоятельной работы надо взять этот интеграл и сказать, чему равно $S(0)$.