задача Кеплера и вектор Лапласа - алгебраический трюк

[Ms-dos4]

Munin
Насколько я знаю, в "стандартном" виде при других потенциалах он не сохраняется. Однако в принципе можно найти его аналог(обобщение) для других потенциалов (но вот только замкнутые траектории формируют только два типа потенциалов, поэтому видимо большого смысла в этом нет).

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #727620 писал(а):

Однако в принципе можно найти его аналог(обобщение) для других потенциалов (но вот только замкнутые траектории формируют только два типа потенциалов, поэтому видимо большого смысла в этом нет).

А какой это будет аналог?

[Ms-dos4]

В случае произвольной центральной силы верно

$\[\frac{d}{{dt}}[\vec p,\vec L] + m{r^2}f(r){{\dot \vec e}_r} = 0\]$
(так например, если $\[f(r) = - \frac{\alpha }{{{r^2}}}\]$, то имеем классический вектор Лапласа $\[\frac{d}{{dt}}([\vec p,\vec L] - m\alpha {{\vec e}_r}) = 0\]$).

А вот для других потенциалов так просто не получается.

Нашёл я пару статеек, сейчас сам читаю
http://ptp.oxfordjournals.org/content/37/5/798.full.pdf
http://arxiv.org/pdf/Math-Ph/0403028.pdf

P.S.Тут ещё вопрос, что для незамкнутых траекторий это вряд-ли будет однозначная функция...

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #727605 писал(а):

Oleg Zubelevich
А в каких-нибудь потенциалах, кроме кулонова, вектор Лапласа вообще сохраняется?

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem

-- Пт май 24, 2013 11:24:42 --

Ales
прочитал. Значит учебные задачи (с заранее известным ответом) Вы решать умеете своим "методом". Но если Вы претендуете именно на новый метод, то надо получить новый результат этим методом. До того Ваша деятельность проходит по разделу "методика преподавания" в лучшем случае.
Кстати, насчет методики:

Ales в сообщении #727578 писал(а):

Для этого надо: перейти в полярные, знать вариационное исчисление, принципы Лагранжа, Гамильтона, Мопертюи.

для разделения переменных в гамильтоновых системах "знать вариационное исчисление, принципы Лагранжа, Гамильтона, Мопертюи" не надо

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #727713 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem

Спасибо.

Там полагаются на то, что любая замкнутая орбита может быть получена деформацией из круговой. А если допустить, что сила даёт некоторые замкнутые орбиты (не все), и некоторые из них (некруговые) не получаются деформацией из круговых с сохранением замкнутости, то что это даёт?

Ms-dos4 в сообщении #727636 писал(а):

В случае произвольной центральной силы верно

$\[\frac{d}{{dt}}[\vec p,\vec L] + m{r^2}f(r){{\dot \vec e}_r} = 0\]$
(так например, если $\[f(r) = - \frac{\alpha }{{{r^2}}}\]$, то имеем классический вектор Лапласа $\[\frac{d}{{dt}}([\vec p,\vec L] - m\alpha {{\vec e}_r}) = 0\]$).

Спасибо.

[Ms-dos4]

Munin
Даже если предположить, что такая траектория есть (я думаю, что если специально "идеально" подобрать параметры, можно найти такую для других типов сил), то любое возмущение - и орбита перестанет быть замкнутой. Тогда как в полях с потенциалами кулона/гармоническим ВСЕ финитные траектории замкнуты.

В ЛЛ как критерий рассматривают вот что :
$\[\Delta \varphi = 2\int\limits_{{r_{\min }}}^{{r_{\max }}} {\frac{{\frac{L}{{{r^2}}}}}{{\sqrt {2m(E - U) - \frac{{{L^2}}}{{{r^2}}}} }}} dr\]$, и изменение этого угла для замкнутости орбиты должно быть рациональной частью от двух пи (т.е. $\[\Delta \varphi = 2\pi \frac{m}{n}\]$, $\[m,n \in {\rm Z}\]$). Но я сомневаюсь, что интеграл аналитически возьмётся для $\[U = - \alpha {r^n}\]$. Хотя повозиться можно(или например поискать те траектории о которых вы говорили, подбирая параметры).

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #727759 писал(а):

любое возмущение - и орбита перестанет быть замкнутой

Ну и что? Вопрос-то математический, а не физический :-)

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #727731 писал(а):

Там полагаются на то, что любая замкнутая орбита может быть получена деформацией из круговой. А если допустить, что сила даёт некоторые замкнутые орбиты (не все), и некоторые из них (некруговые) не получаются деформацией из круговых с сохранением замкнутости, то что это даёт?

Это что-то странное. Теорема Бертрана формулируется так

[scwec]

У меня два вопроса к Ales.
Ваш метод работает и в случае непотенциальных сил? Например, видоизменим задачу Oleg Zubelevich.
Точка единичной массы движется по плоскости под действием центральной силы, и в полярных координатах компоненты силы $Q_\varphi=0,Q_r=\frac{f(\varphi)}{r^3}$. Если можно, проинтегрируйте эту задачу.
И второй вопрос. В последние 40-50 лет возникли совершенно новые подходы к интегрированию уравнений движения, в т.ч. метод обратной задачи рассеяния или метод изоспектральных деформаций и т.п.. Вряд ли Вы можете предложить свой метод в качестве альтернативного и здесь.
Наверное, надо предположить, что круг действия метода чем-то ограничен. Чем? Сформулируйте, если можете.

[Ms-dos4]

Oleg Zubelevich
Так вот именно, что Munin рассматривает потенциалы, для которых пункт 2) не выполнен. Т.е. НЕ требуется замкнутость ВСЕХ траекторий. Я считаю что замкнутые не круговые траектории существуют и для других потенциалов. Но только как "исключительный" случай.

[Oleg Zubelevich]

ну по-моему тут надо просто теорему Лиувилля-Арнольда держать в поле зрения

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #727917 писал(а):

ну по-моему тут надо просто теорему Лиувилля-Арнольда держать в поле зрения

А назовите её, чтобы она попала в моё поле зрения?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #727967 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #727917 писал(а):

ну по-моему тут надо просто теорему Лиувилля-Арнольда держать в поле зрения

А назовите её, чтобы она попала в моё поле зрения?

Она страницу занимает в учебнике Арнольда Мат. методы клас. мех. С этой теоремы начинается глава "Введение в теорию возмущений"

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #727713 писал(а):

начит учебные задачи (с заранее известным ответом) Вы решать умеете своим "методом".

Согласен, что пока это не тянет на "метод" решения задач.
Ведь не известно, какие надо делать алгебраические преобразования, чтобы решить задачу.

Построить аналог известного решения, это наверное можно.

-- Пт май 24, 2013 22:10:50 --

scwec в сообщении #727842 писал(а):

Ваш метод работает и в случае непотенциальных сил?

Не знаю, не пробовал.

Предполагаю решать только мотивированные голономные задачи,
про которые известно, что они имеют решение.

На учебные или произвольные задачи жалко тратить время.

[Oleg Zubelevich]

Ales в сообщении #727981 писал(а):

про которые известно, что они имеют решение

т.е. уже решенные ранее чтоли?