Уравнение Эйлера-Лагранжа

[IceB31]

Всем здрасьте.
Вопрос тут возник, глупый, поэтому не смейтесь.
Задача вариационного исчисления:
$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$ (1)
Понятно, что частные производные первого порядка должны быть непрерывными.
Решение:
$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0$ (2)

Как мне представляется содержательная часть задачи (1), для наглядности физ. интерпретация:
Изначально есть какая-то функция связывающая время, путь, скорость. Мы хотим каждой такой функции в промежутке времени дать чиселко, получили функционал. Дальше, зная, что функционал линеен будем работать лишь с одной чиселкой(значением функционала). Если хотим найти траекторию, для который время пути будет наименьшим (2) нам пригодиться.

НО!
Что если у нас функционал от такой функции:
$J = \int\limits_a^b F(x, f(x))\, dx.$ (3)

Если попытаемся минимизировать (3), то что из этого выйдет. Почему такая задача не ставится, или ставится, а я не вижу?

[SpBTimes]

Так а что такого?
$J(f) = \int\limits_a^b F(x, f(x)) dx$
Чтобы найти стац. точки вы хотите, чтобы $J'(f) = 0$. А отсюда, если интеграл собственный и с функцией все хорошо, получаете: $J'(f) = \int\limits_a^b F'(x, f(x))dx = 0$

[ИСН]

Ваша задача (3) является частным случаем задачи (1), и никаких самостоятельных движений ума не заслуживает. Мы же умеем решать (1)? Умеем. Ну вот и всё.

[IceB31]

ИСН в сообщении #727449 писал(а):

Ваша задача (3) является частным случаем задачи (1), и никаких самостоятельных движений ума не заслуживает. Мы же умеем решать (1)? Умеем. Ну вот и всё.

Вы верно говорите. Но вопрос состоит не в том, как решить эту задачу, а что она из себя представляет?
Есть ли у вас примеры такой задачи?

Для задачи (1) можно привести в пример задачу о брахистохроне.

[Ms-dos4]

IceB31
Эта вырожденный случай. В этом случае уравнение Лагранжа представляет собой $\[\frac{{\partial L}}{{\partial y}} = 0\]$, т.е. $\[L = {\rm{const}}\]$. Это уравнение - не дифференциальное, а алгебраическое. Т.е. фактически вариации как таковой и нет. Если с начальными условиями сойдётся (что собственно представляет собой специально подобранный случай), то решение есть, если не сойдётся, то решений нет.

[svv]

Допустим, у нас есть функционал

$$J=\int\limits_{a}^{b} \left(x(t)-\frac 1 2 (x'(t))^2 \right) dt\,\, ,$$

и нам надо найти функцию $x(t)$, на которой он принимает максимальное значение, при дополнительных условиях $x(a)=x(b)=0$.

Решая уравнение Эйлера-Лагранжа, найдём, что $x''(t)=-1$. График $x(t)$ -- парабола, обращенная ветвями вниз. Она плавно взлетает вверх из точки $(a, 0)$, доходит до максимума и так же плавно опускается вниз, в точку $(b, 0)$.

Это обычный, хороший, типичный функционал, и на его примере легко понять, в чём интрига. Мы хотим добиться как можно большего значения функционала. Так как первое слагаемое подынтегральной функции $x(t)$, то хочется взять его как можно больше. Но если мы попытаемся поднять $x(t)$ вверх слишком резко, то сильно вырастет $(x'(t))^2$, входящее со знаком минус, и эффект будет противоположный. Итак, вверх подниматься нужно, но не слишком резко. И опускаться потом тоже нужно не слишком резко. И существует нетривиальное "наилучшее" решение.

И это типичная картина. Так как функционал обычно зависит не только от значений $x(t)$, но и от производной, мы не можем добиваться оптимума в разных точках независимо, точки [кривой] как будто дополнительно связаны какими-то нитями или пружинами, которые "хотят" или "не хотят" наклоняться (1-я производная) или изгибаться (2-я производная).

А если зависимость от производной убрать, вся эта интрига разом пропадает. В нашем примере функционал теперь будет

$$J=\int\limits_{a}^{b} x(t) dt$$

Берите $x(t)$ в каждой точке всё больше и больше, не заботясь ни о чём, ни о какой взаимосвязи значений в разных точках, и значение интеграла тоже будет расти. Ясно, что экстремальной функции $x(t)$ теперь не будет.

[IceB31]

Замечательное разъяснение. Я понял смысл задачи.
Благодарю сердечно!