Допустим, у нас есть функционал

и нам надо найти функцию

, на которой он принимает максимальное значение, при дополнительных условиях

.
Решая уравнение Эйлера-Лагранжа, найдём, что

. График

-- парабола, обращенная ветвями вниз. Она плавно взлетает вверх из точки

, доходит до максимума и так же плавно опускается вниз, в точку

.
Это обычный, хороший, типичный функционал, и на его примере легко понять, в чём интрига. Мы хотим добиться как можно большего значения функционала. Так как первое слагаемое подынтегральной функции

, то хочется взять его как можно больше. Но если мы попытаемся поднять

вверх слишком резко, то сильно вырастет

, входящее со знаком минус, и эффект будет противоположный. Итак, вверх подниматься нужно, но не слишком резко. И опускаться потом тоже нужно не слишком резко. И существует нетривиальное "наилучшее" решение.
И это типичная картина. Так как функционал обычно зависит не только от значений

, но и от производной, мы не можем добиваться оптимума в разных точках независимо, точки [кривой] как будто дополнительно связаны какими-то нитями или пружинами, которые "хотят" или "не хотят" наклоняться (1-я производная) или изгибаться (2-я производная).
А если зависимость от производной убрать, вся эта интрига разом пропадает. В нашем примере функционал теперь будет

Берите

в каждой точке всё больше и больше, не заботясь ни о чём, ни о какой взаимосвязи значений в разных точках, и значение интеграла тоже будет расти. Ясно, что экстремальной функции

теперь не будет.