Вопрос по Тейлору

[Cstln]

Здравствуйте
Чтобы разложить ${\left(\mathrm{e}^{x} - 2\right)}^2$ в ряд Тейлора, мне нужно

1) показать, что его остаточный член стремится к нулю
2) Найти, при каких х ряд Тейлора схожится?

Как это сделать?

[ИСН]

Чтобы ходить, у человека нужно две ноги. Для простой функции $e^x$ Вы знаете ответы на те же вопросы?

[Cstln]

Да, конечно.
Но если производная по экспоненте остаётся экспонентой, то здесь у меня будет

$\mathrm{e}^{2x}$

И при каждом дифференцировании производная будет расти, а как тогда доказать их ограниченность в совокупности?

[Ms-dos4]

Cstln
Вы же сказали что вы знаете ряд Тейлора для экспоненты. Что тут думать, проще всего - бином Ньютона и далее экспоненты в их "родной" ряд.

[Cstln]

А напрямую разве нельзя разложить?

[a_nn]

Ну это и есть напрямую. Можно, конечно, и через производные... если хотите...

[Cstln]

Ну вот - а для этого нужно доказать выполнить то, что я написал в 1 посте. Как это сделать-то?

[Ms-dos4]

$\[{({e^x} - 2)^2} = {e^{2x}} - 4{e^x} + 4\]$
$\[{e^{2x}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{(2x)}^k}}}{{k!}}} \]$
$\[{e^x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{x^k}}}{{k!}}} \]$
$\[{({e^x} - 2)^2} = 4 + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{(2x)}^k} - 4{x^k}}}{{k!}}} \]$
Вы сходимость рядов для обычной экспоненты доказать не можете?

[a_nn]

Ну вы сначала разложите, найдите этот остаточный член...

[Cstln]

Ms-dos4 в сообщении #727218 писал(а):

$\[{({e^x} - 2)^2} = {e^{2x}} - 4{e^x} + 4\]$
$\[{e^{2x}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{(2x)}^k}}}{{k!}}} \]$
$\[{e^x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{x^k}}}{{k!}}} \]$
$\[{({e^x} - 2)^2} = 4 + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{(2x)}^k} - 4{x^k}}}{{k!}}} \]$
Вы сходимость рядов для обычной экспоненты доказать не можете?

Как-то фундаментально я взялся задачу решать) Спасибо большое