Исследование функций на экстремум

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #726455 писал(а):

Это для произвольной $\hat{y}$. А нас она особенная... Чему удовлетворяет?
Впрочем, советую вам не верить мне на слово, а проделать эту операцию для вашей конкретной $F(x,y,y')$ (то есть проинтегрировать по частям третье слагаемое).

ничего не получается с интегралом $\int \limits_{1}^{e} xh' dx$, что только я с ним не делал, поверьте
может вдоль прямой надо рассмотреть?

[Legioner93]

Как у вас такой интеграл получился, откуда он?

-- Вт май 21, 2013 22:36:34 --

Вы получили $\Delta J$ в том виде, что я показал?

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #726810 писал(а):

Как у вас такой интеграл получился, откуда он?

-- Вт май 21, 2013 22:36:34 --

Вы получили $\Delta J$ в том виде, что я показал?

да, это то, что остается после всех сокращений, проверял раз 10
(я проинтегрировал по частям третье слагаемое)

[Legioner93]

Из всего моего текста вы уловили только фразу "интегрируйте по частям третье слагаемое"!
Между тем, если внимательно всмотреться в те три моих формулы (последнее сообщение на 2 странице), то можно увидеть:
- Как именно следует интегрировать по частям ваше третье слагаемое (занести под дифференциал $h'$), а не бездумно, как вы.
- Почему следует делать именно так.
- Что из этого получится.
- Нестрогий, но вывод уравнения Эйлера.

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #726881 писал(а):

(занести под дифференциал $h'$), а не бездумно, как вы.

для меня такие варианты решения не являются очевидными

а вашим способом тот же результат и получается, кстати говоря

[zoidberg]

вот смотрите, что у меня получается:
(1)$\int \limits_{1}^{e} h dx -\int \limits_{1}^{e} xh'^2 dx -\int \limits_{1}^{e} 2xy_0'h' dx$ - вы сами отметили, что эта формула правильная
интегрируем по частям третье слагаемое:
(2)$\int \limits_{1}^{e} h dx -\int \limits_{1}^{e} xh'^2 dx +\int \limits_{1}^{e} h(2xy_0'' +xy_0') dx$ - группируем первое с третьим, и получаем под интегралом
(3)$\int \limits_{1}^{e} h(2xy_0''+2y_0'+1) dx$ - здесь мы говорим, что $y_0$ удовлетворяет уравнению эйлера, поэтому в скобках будет 0.
остается одно слагаемое (4)$-\int \limits_{1}^{e} xh'^2 dx$, которое, по вашей формуле, и является $o(\lVert \eta \rVert)$

или вы хотели, чтобы в (3) у меня вместо $y_0$ было $y_0+h$? тогда я пойду думать дальше, как правильно проинтегрировать то, что имеется

[Legioner93]

zoidberg в сообщении #726924 писал(а):

для меня такие варианты решения не являются очевидными

Надо читать теорию, это основы, это не я придумал, а Эйлер с Лагранжем.
Собственно именно так и выводится это самое уравнение Эйлера - с занесением $\eta '$ под дифференциал.
Я специально написал в разложение в общем виде, чтобы вам это показать. Вы же знаете что для "обычной" функции $f$ достигается экстремум при $df(x_0)=f'(x_0)dx=0$ - здесь ровно то же самое. Необходимое условие экстремума - линейная часть $\Delta J(\hat{y})$ по $\eta$ должна быть равна нулю, а $\Delta J(\hat{y}) = \int \limits_{a}^{b} \eta \left( F'_y - \dfrac{d}{dx}F'_{y'}\right)dx + o(\lVert \eta \rVert)$, отсюда и выводят уравнение Эйлера.

zoidberg в сообщении #726924 писал(а):

остается одно слагаемое (4)$-\int \limits_{1}^{e} xh'^2 dx$, которое, по вашей формуле, и является $o(\lVert \eta \rVert)$

Всё правильно. Такой интеграл вы же можете оценить, верно? Про о-малое забудьте, просто оцените знак интеграла.

Если вы до конца осознали пример, то теперь всегда сможете применять этот хинт - сразу выбрасывать все линейные слагаемые из $\Delta J$.

[zoidberg]

Legioner93 в сообщении #726997 писал(а):

Всё правильно. Такой интеграл вы же можете оценить, верно? Про о-малое забудьте, просто оцените знак интеграла.

Если вы до конца осознали пример, то теперь всегда сможете применять этот хинт - сразу выбрасывать все линейные слагаемые из $\Delta J$.

конечно, спасибо за помощь