Вероятность в "Что? Где? Когда?"

[provincialka]

Не знаю, насколько известная эта задача, мы ее предлагали на студенческой олимпиаде в 2010 году. Но она сложная (хотя есть короткое решение).

В игре «Что? Где? Когда?» в каждом раунде волчок останавливается в секторе номер $x$, где $x$ равновероятно принимает одно из значений $0, 1, …, 13$. При этом играет первый из секторов по часовой стрелке, который ранее не играл. Найти вероятность того, что после шести раундов сыграют (в любом порядке) сектора $1, 2, …, 6$.

[_Ivana]

Интересная задача. Аналитически не победил, сел поиграл - получил около $0.0023$, если нигде не ошибся

[Ms-dos4]

Ясно, что $\[P = \frac{m}{{{{14}^6}}}\]$
где m - число успешных "наборов" из номеров секторов (1,2,...6), причём цифры могут повторяться, но важно что бы волчок не попал в "пустой промежуток" между ещё не выпавшими нужными нам секторами и сектором 7. Но тогда эти наборы не зависят от общего числа секторов. Пусть секторов всего 7. Очевидно, что тогда вероятность
$\[p = \frac{1}{7}\]$ и $\[p = \frac{m}{{{7^6}}} \Rightarrow m = {7^5}\]$
Ну и окончательно
$\[P = \frac{{{7^5}}}{{{{14}^6}}} = \frac{1}{{448}}\]$
P.S.Сначала чуть голову не сломал про способ определения количества этих наборов...

[provincialka]

Вы эту задачу раньше решали, или только после моего вопроса? Поразительно быстро Вы нашли короткое решение

[voipp]

Ms-dos4 в сообщении #719323 писал(а):

Ясно, что $\[P = \frac{m}{{{{14}^6}}}\]$
где m - число успешных "наборов" из номеров секторов (1,2,...6), причём цифры могут повторяться, но важно что бы волчок не попал в "пустой промежуток" между ещё не выпавшими нужными нам секторами и сектором 7. Но тогда эти наборы не зависят от общего числа секторов. Пусть секторов всего 7. Очевидно, что тогда вероятность
$\[p = \frac{1}{7}\]$ и $\[p = \frac{m}{{{7^6}}} \Rightarrow m = {7^5}\]$
Ну и окончательно
$\[P = \frac{{{7^5}}}{{{{14}^6}}} = \frac{1}{{448}}\]$
P.S.Сначала чуть голову не сломал про способ определения количества этих наборов...

а как у вас $\frac{1}{7}$ получилось?

[Ms-dos4]

voipp
У вас всего 7 конвертов. Вероятность того, что сыграют первые шесть это то же самое, что НЕ сыграет 7-ой. Всё.

-- Вт май 21, 2013 22:11:05 --

provincialka в сообщении #719336 писал(а):

Вы эту задачу раньше решали, или только после моего вопроса? Поразительно быстро Вы нашли короткое решение

Задача не столь сложна. Тут самый сложный момент в том, как собственно сосчитать m, над этим я два часа голову и ломал. А до и после этого момента всё элементарно.

[voipp]

Ms-dos4 в сообщении #726783 писал(а):

voipp
У вас всего 7 конвертов. Вероятность того, что сыграют первые шесть это то же самое, что НЕ сыграет 7-ой. Всё.

-- Вт май 21, 2013 22:11:05 --

provincialka в сообщении #719336 писал(а):

Вы эту задачу раньше решали, или только после моего вопроса? Поразительно быстро Вы нашли короткое решение

Задача не столь сложна. Тут самый сложный момент в том, как собственно сосчитать m, над этим я два часа голову и ломал. А до и после этого момента всё элементарно.

а при чем тут конверты? Оо Если вы имеете ввиду задачу о конвертах , то там в 1 конверт нельзя класть два письма. Не сыграет 7? Легко сказать, а понять невозможно. Здесь же надо учитывать, что проигрышными будут варианты, где стрелка попадает на "пустые" прилегающие к 6 сектора, но такие случаи еще же надо считать!!! На языке числовых последовательностей, это значит что последовательности с повторяющимися цифрами будут в одном случае выигрышными а в другом - нет! Мне кажется вы не рассматриваете повторы, но почему?Может вы все таки формально объясните ???

[Ms-dos4]

Цитата:

а при чем тут конверты? Оо Если вы имеете ввиду задачу о конвертах , то там в 1 конверт нельзя класть два письма. Не сыграет 7? Легко сказать, а понять невозможно. Здесь же надо учитывать, что проигрышными будут варианты, где стрелка попадает на "пустые" прилегающие к 6 сектора, но такие случаи еще же надо считать!!! Может вы все таки формально объясните ???

А вы внимательно читали? Число благоприятствующих нам наборов из номеров секторов (т.е. число m) не зависит от того сколько всего секторов (главное что бы больше 6 или теряется смысл). Тогда рассматриваем ситуацию, когда секторов всего 7 и находим его как я уже написал выше.

[voipp]

Ms-dos4 в сообщении #726817 писал(а):

Цитата:

а при чем тут конверты? Оо Если вы имеете ввиду задачу о конвертах , то там в 1 конверт нельзя класть два письма. Не сыграет 7? Легко сказать, а понять невозможно. Здесь же надо учитывать, что проигрышными будут варианты, где стрелка попадает на "пустые" прилегающие к 6 сектора, но такие случаи еще же надо считать!!! Может вы все таки формально объясните ???

А вы внимательно читали? Число благоприятствующих нам наборов из номеров секторов (т.е. число m) не зависит от того сколько всего секторов (главное что бы больше 6 или теряется смысл). Тогда рассматриваем ситуацию, когда секторов всего 7 и находим его как я уже написал выше.

Я про 7 конвертов и говорю
Это то понятно. но почему вы не рассматриваете выборки секторов с повторениями?

[Ms-dos4]

Рассматриваю, как же иначе

[voipp]

Ms-dos4 в сообщении #726822 писал(а):

Рассматриваю, как же иначе

а то есть те вычисления вы опустили ? но зачем же тогда взрывать мозг словами "очевидно, что"
хотелось бы тогда увидеть те выкладки, уж совсем не очевидно как подсчитать выборки со "специальными" потворениями

[Ms-dos4]

Так, давайте по порядку. У нас есть 7 секторов. Какова вероятность, что стрелка НЕ укажет на одно из писем(причём тут не важно, покажет ли она конкретно на этот сектор, или на другие пустые).

[voipp]

Ms-dos4 в сообщении #726828 писал(а):

Так, давайте по порядку. У нас есть 7 секторов. Какова вероятность, что стрелка НЕ укажет на одно из писем(причём тут не важно, покажет ли она конкретно на этот сектор, или на другие пустые).

6/7

[Ms-dos4]

Я не это имел ввиду но ладно.
В общем смотрите. За каждый раз снимается 1 письмо. В конце концов у нас останется 1 письмо. Ну и какая вероятность, что это будет 7 письмо?

-- Вт май 21, 2013 23:07:36 --

Тут самое главное понять, что нам то важно, что бы сыграно было 6 писем подряд, а сам то номер собственно не важен (это когда секторов 7). Т.е. письма "равнозначны".

[voipp]

voipp в сообщении #726834 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #726831 писал(а):

Я не это имел ввиду но ладно.
В общем смотрите. За каждый раз снимается 1 письмо. В конце концов у нас останется 1 письмо. Ну и какая вероятность, что это будет 7 письмо?

ну вроде 1/7, так как на его месте с равной вероятностью может быть любой конверт. Мы можем например после каждого раунда менять произвольно цифры на конверте