собственные значения оператора

[selea]

Добрый день.

Помогите, пожалуйста, разобраться с решением следующей задачи.

В вещественном линейном пространстве $C[-\pi;\pi]$ найти собственные значения и собственные векторы оператора $Ax(t)=x(-t)$.

Понимаю, что ответ очевиден - собственными значениями будут $\lambda_1 = 1$ и $\lambda_2 = -1$. Им будут соответствовать собственные векторы - функции из пространства четных (для $\lambda_1 = 1$) и нечетных функций ($\lambda_2 = -1$) на отрезке $[-\pi;\pi]$. Но я не понимаю, как аналитически обосновать данное решение. В случае, когда есть матрица линейного оператора в векторном пространстве, алгоритм понятен, но как находить собственные значения и собственные векторы в этой задаче неясно.

[ewert]

selea в сообщении #726639 писал(а):

не понимаю, как аналитически обосновать данное решение.

Воспользуйтесь тем, что всё пространство есть прямая сумма этих двух собственных подпространств.

[selea]

ewert, но разве это прямая сумма? ведь в пространстве непрерывных функций есть и функции, которые не являются ни четными, ни нечетными.

[ewert]

selea в сообщении #726641 писал(а):

разве это прямая сумма? ведь в пространстве непрерывных функций есть и функции, которые не являются ни четными, ни нечетными.

А что такое сумма подпространств (кстати, не обязательно прямая, хотя тут она и прямая)?...

[selea]

пространство является прямой суммой, если каждый его вектор можно однозначно представить в виде суммы векторов из подпространств (тех, которые образуют прямую сумму). ага, кажется, понимаю - в виде суммы мы сможем представить любую функцию, но разве однозначно?

тогда наведите, пожалуйста, на мысль, что же нам даст эта прямая сумма? два собственных подпространства => два два различных собственных значения? но как это приведет нас к значениям1 и -1?

-- 21.05.2013, 17:24 --

Возможно, я неверно понимаю прямую сумму, но ведь функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций только если область определения представимой функции симметрична относительно нуля? то есть не все непрерывные функции можно представить таким образом.

[ewert]

Докажите утверждение общего характера, без привязки к функциям вообще: если пространство есть сумма двух собственных подпространств (отвечающих, естественно, разным собственным числам), то других собственных чисел быть не может. Это не зависит от размерности.

-- Вт май 21, 2013 17:30:43 --

selea в сообщении #726656 писал(а):

функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций только если область определения представимой функции симметрична относительно нуля?

Естественно. Только при чём тут "область определения"?