Для произвольного

компонент будет

. Чтобы понять, что их хотя бы столько, нужно посмотреть на след. Это целочисленная (потому что все собственные значения равны

) и непрерывная (потому что это сумма диагональных элементов) функция. Следовательно, она постоянна на каждой компоненте связности. Ну и легко привести примеры

разных значений, просто расставляя

на диагонали.
-- 03.05.2013, 16:15 --Понять, что их ровно

, можно так. Во-первых, поскольку все собственные значения вещественны, любая такая матрица приводится к вещественной жордановой форме. Далее, у жордановой формы можно заменить внедиагональные единицы на

и менять

от единицы до 0. Мы получили путь от нашей матрицы к некоторой диагонализуемой матрице внутри нашего класса. Следовательно, в каждой компоненте связности лежит диагонализуемая матрица. Далее, любые 2 диагонализуемые матрицы с с. з.

с одинаковой сигнатурой (т. е. одинаковым количеством

на диагонали) можно непрерывно перевести одну в другую. Это следует из того, что любой базис можно непрерывно перевести в любой базис той же ориентации. Если ориентация оказалась не та, то можно поменять местами любые 2 вектора с одинаковым собственным значением.
-- 03.05.2013, 16:15 --И, если что, в данном случае компоненты связности совпадают с компонентами линейной связности.
-- 03.05.2013, 16:36 --Ориентация здесь ни при чем даже...