Вопрос по топологии

[sopor]

Как искать компоненты связности пространства? Как искать компоненты линейной связности - это мне известно. А вот с компонентами связности непонятно. $I (n)=[A|A^2=E]$ Как, например, найти компоненты связности такого множества?

[provincialka]

А в каком пространстве? Что такое $A$? И при чем тут $n$?

[sopor]

Да, извините за неточность. $n$ - это размер матрицы, $A$ - это матрица, $I (n)$ - это подмножество пространства всех вещественных матриц размера $n$

[provincialka]

Связность понимается в обычном топологическом смысле? А какова топология пространства - как у $\mathbb R^{n^2}$.

Для $n=1$ пространство несвязно (состоит из двух элементов). Для $n=2$ легко описать все решения, элементы $A=E$ и $A=-E$ изолированы.

Может, и в общем случае будет так?

[provincialka]

Связность понимается в обычном топологическом смысле? А какова топология пространства - как у $\mathbb R^{n^2}$.

Для $n=1$ пространство несвязно (состоит из двух элементов). Для $n=2$ легко описать все решения, элементы $A=E$ и $A=-E$ изолированы.

Может, и в общем случае будет так?

[sopor]

Да, оно всегда несвязно, но задача в том, чтобы определить, СКОЛЬКО будет компонент связности. Для $n=1$ их 2, а вот дальше уже непонятно.

[provincialka]

Ну, для $n=2$ компонент будет 3: два изолированных элемента и двухпараметрическое семейство.

[g______d]

Для произвольного $n$ компонент будет $n+1$. Чтобы понять, что их хотя бы столько, нужно посмотреть на след. Это целочисленная (потому что все собственные значения равны $\pm 1$) и непрерывная (потому что это сумма диагональных элементов) функция. Следовательно, она постоянна на каждой компоненте связности. Ну и легко привести примеры $n+1$ разных значений, просто расставляя $\pm 1$ на диагонали.

-- 03.05.2013, 16:15 --

Понять, что их ровно $n+1$, можно так. Во-первых, поскольку все собственные значения вещественны, любая такая матрица приводится к вещественной жордановой форме. Далее, у жордановой формы можно заменить внедиагональные единицы на $t$ и менять $t$ от единицы до 0. Мы получили путь от нашей матрицы к некоторой диагонализуемой матрице внутри нашего класса. Следовательно, в каждой компоненте связности лежит диагонализуемая матрица. Далее, любые 2 диагонализуемые матрицы с с. з. $\pm 1$ с одинаковой сигнатурой (т. е. одинаковым количеством $-1$ на диагонали) можно непрерывно перевести одну в другую. Это следует из того, что любой базис можно непрерывно перевести в любой базис той же ориентации. Если ориентация оказалась не та, то можно поменять местами любые 2 вектора с одинаковым собственным значением.

-- 03.05.2013, 16:15 --

И, если что, в данном случае компоненты связности совпадают с компонентами линейной связности.

-- 03.05.2013, 16:36 --

Ориентация здесь ни при чем даже...

[sopor]

g______d в сообщении #719153 писал(а):

-- 03.05.2013, 16:15 --

И, если что, в данном случае компоненты связности совпадают с компонентами линейной связности.

-- 03.05.2013, 16:36 --

Почему так? и когда это так?

[g______d]

sopor в сообщении #725221 писал(а):

Почему так? и когда это так?

Это так как минимум для многообразий или конечных объединений многообразий. Достаточно показать, что компоненты линейной связности открыто-замкнуты, и это не сложно.