Дифференциальные уравнения - граничные условия 2 решения

[tpm01]

Хотелось бы узнать причину следующего: есть диф. уравнение второго порядка, нелинейное однородное. И два граничных условия вида $y(x_1)=y_1$, $y(x_2)=y_2$. Если решить это уравнение двумя разными подстановками, то получаются 2 абсолютно разных общих решения. Затем, если подставить в эти общие решения заданные граничные условия, то получатся 2 разные функции. И оба общих решения и обе функции удовлетворяют заданному диф. уравнению. Если нужно, могу написать здесь этот конкретный пример.

[wronskian]

tpm01
напишите пример, но вроде как решение краевых задач для нелинейных ДУ неединственно, нарисуйте фазовый портрет, там видно будет

[tpm01]

wronskian, спс, если неединственно, тогда понятно.
Само уравнение вот:
$y''+y'/x-y/x^2=0$
граничные условия $y(1)=2$, $y(2)=2/5$
Первое решение общее $y=C_1/ x+C_2 \cdot x$
частное $y=1/ x+1 \cdot x$
Второе (большое) $y=C_1 \cos(\ln(x))+C_2 \sin(\ln(x))$
Коэффициенты $C_1=2$, $C_2=(4 \sin(\ln(2)/2)^2+1/2)/(\sin(\ln(2)))$
Частное уже не буду писать, довольно формула громоздкая.
Фазовый портрет тоже не буду рисовать, по той же причине.
Вопрос этот вот почему возник: было такое задание, решить простейшую вариационную задачу для функционала такого вида:
$\int_1^2 [x \cdot (y')^2 +y^2/x]dx $
с теми граничными условиями решить. В ответе указать значение $y$ при заданном $x$. Тогда получается, если решение неединственно, то и задача такая не совсем корректна?

[SpBTimes]

А почему задача то некорректна?
Более того, вы не проверили достаточного условия. Кривые могут и не подходить под него.

[tpm01]

SpBTimes, а как достаточное условие проверить? Если я правильно поняла (но могу, конечно, и ошибаться, я самостоятельно пытаюсь разобраться), то составляется диф. уравнение Эйлера, решается, находится общее решение, затем подставляем граничные условия и получаем необходимое по условию частное решение. Про некорректность я бы хотела узнать, корректна задача или нет. Т.к. функций 2 получается (это те, что получились), а значение в точке одно спрашивается (единственный вариант ответа), и если этот аргумент в эти функции подставить, то будет два разных числа, т.е. непонятно, какое из них имелось ввиду.

[provincialka]

tpm01, а вы проверяли свои решения подстановкой? Второе решение не подходит! Нет ьаи никаких синусов и логарифмов. Урвнение легко решается.

[ewert]

tpm01 в сообщении #726409 писал(а):

Само уравнение вот:
$y''+y'/x-y/x^2=0$

Нет, так не пойдёт. Вы же обещали нелинейное уравнение. И где оно?...

wronskian в сообщении #726355 писал(а):

но вроде как решение краевых задач для нелинейных ДУ неединственно,

Ну, поскольку для линейных не единственно (вообще говоря), то, наверное, и для нелинейных тем более.

[tpm01]

ewert, прошу прощения, линейное с коэффициентами, которые зависят от переменной, писала же, изучаю самостоятельно, да и то время от времени, как работа позволяет, поэтому могу не во всем разбираться. Вопрос вообще в том, имеет ли упомянутая вариационная задача единственное решение при такой постановке найти число $b$ такое, что $b=y(a)$?
И еще такой вопрос, подскажите пожалуйста в какой литературе можно найти удобную классификацию ДУ, чтобы она не была разбросана по теории?

[tpm01]

Всем спасибо, уже разобралась, ошиблась со знаком, там только одно общее решение, первое.