Добрый день. Попалась мне весьма нетривиальная (по моему скромному мнению) задачка по читаемому на нашей кафедре спецкурсу "Методы решения некорректных задач". Далее изложу непосредственно условие задачи, как я подошел к решению и какие трудности возникли.
______________
(Пример №3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. - Методы решения некорректных задач (стр. 164).)
Рассмотрим задачу восстановления электрического импульсного сигнала

, зависящего от времени, поданного на вход коаксиального кабеля длины

, по выходному сигналу

. Связь между

и

дается отношением

, в котором

где

- константа, характеризующая тип кабеля,

- единичная функция. Возьмем в качестве

.
______________
Решение.
Прежде чем начать, опишу "на пальцах" то что мы собираемся проделать.
Интегральное уравнение Вальтера с разностным ядром описывает связь между

и

. По значению функции

требуется восстановить сигнал

. Заменив подынтегральное выражение квадратурной формулой, мы получим СЛАУ на значения

, решив которое каким - либо точным методом, убедимся в том что СЛАУ сходимости к точному решению по нет и для решения задачи нужно провести регуляризацию. После нахождения параметра регуляризации и решения регуляризованной системы, найдем регуляризованное решение.
Моя интерпретация примерно такова (если я не прав, смело ткните носом).
______________
Итак, будем решать задачу на сегменте
![$[0, 4]$ $[0, 4]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/c/23c53e48c16ac92090d3ed7adb778f1c82.png)
. Для начала необходимо вычислить функцию

, решить "прямую задачу". Для этого положим

. Данная функция была взята из соображений относительной простоты вычисления интеграла в дальнейшем и из-за визуальной схожести с функцией, предлагаемой авторами книги, из которой пример был взят (точного вида функции авторы не предоставили).
Пусть

, тогда

. Как можем видеть, имеет место особенность при

, следующая из ядра.
Сведем задачу к

Теперь, считая функцию

неизвестной, будем решать рассматриваемое уравнение ("обратную задачу") по методу квадратур с применением метода средних прямоугольников.
Для простоты возьмем разбиение области на

промежутка.
1. На сегменте
![$[0 , 4]$ $[0 , 4]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/e/7de181248409efb0fd432b2f438f038e82.png)
построим сетку

.
2. Этап замены интегрального уравнения квадратурной суммой. В итоге получаем СЛАУ на

.
Для

система примет вид (

):

На этом я остановился. Меня очень смущает такой способ приближения функции. Другими словами верно ли составлена система? Можно ли так менять пределы интегрирования, ведь в исходном интеграле верхний предел есть

, а сам интеграл есть функция от

. Проблема в нахождении правых частей. Знаю что "прямая задача" нахождения правых частей в этом случае решается через преобразование Лапласа, но хотелось бы обойтись чем-то более простым.
Функция приближаласть таким образом по совету преподавателя, но сомнения меня грызут :)