Регуляризация. Восстановление формы электрического сигнала.

[PATIfon]

Добрый день. Попалась мне весьма нетривиальная (по моему скромному мнению) задачка по читаемому на нашей кафедре спецкурсу "Методы решения некорректных задач". Далее изложу непосредственно условие задачи, как я подошел к решению и какие трудности возникли.
______________
(Пример №3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. - Методы решения некорректных задач (стр. 164).)
Рассмотрим задачу восстановления электрического импульсного сигнала $z(t)$, зависящего от времени, поданного на вход коаксиального кабеля длины $l$ , по выходному сигналу $u(t)$. Связь между $z(t)$ и $u(t)$ дается отношением $\int_0^tK(t-\tau)d\tau=u(t)$, в котором $K(t)=\eta(t)\frac{\mu l}{\sqrt{4 \pi t^3\mathstrut}}\exp (- \frac{\mu^2 l^2}{4l}),$ где $\mu$ - константа, характеризующая тип кабеля, $\eta(t)$ - единичная функция. Возьмем в качестве $\mu=3.05\cdot10^{-4}, l=10^{4}$.
______________
Решение.
Прежде чем начать, опишу "на пальцах" то что мы собираемся проделать.
Интегральное уравнение Вальтера с разностным ядром описывает связь между $z(t)$ и $u(t)$. По значению функции $u(t)$ требуется восстановить сигнал $z(t)$. Заменив подынтегральное выражение квадратурной формулой, мы получим СЛАУ на значения $z_{i}(t)$, решив которое каким - либо точным методом, убедимся в том что СЛАУ сходимости к точному решению по нет и для решения задачи нужно провести регуляризацию. После нахождения параметра регуляризации и решения регуляризованной системы, найдем регуляризованное решение.
Моя интерпретация примерно такова (если я не прав, смело ткните носом).
______________
Итак, будем решать задачу на сегменте $[0, 4]$. Для начала необходимо вычислить функцию $u(t)$, решить "прямую задачу". Для этого положим $z(t)=1.75-(t-2)^2$. Данная функция была взята из соображений относительной простоты вычисления интеграла в дальнейшем и из-за визуальной схожести с функцией, предлагаемой авторами книги, из которой пример был взят (точного вида функции авторы не предоставили).

Пусть $Q={\frac{1}\sqrt{2 \pi}}\mu l \exp (- \frac{\mu^2 l^2}{4l})$, тогда $Q\int_0^t{\frac{1.75-(\tau-2)^3}\sqrt{(t - \tau)^3}}d\tau=u(t)$. Как можем видеть, имеет место особенность при $\tau=t$, следующая из ядра.

Сведем задачу к $K^{*}(t, \tau)\begin{cases} K(t, \tau), & \text{если $0 \leqslant \tau \leqslant t$;} \\ 0, & \text{если $\tau > t$.} \end{cases}$

Теперь, считая функцию $z(t)$ неизвестной, будем решать рассматриваемое уравнение ("обратную задачу") по методу квадратур с применением метода средних прямоугольников.

Для простоты возьмем разбиение области на $n=2$ промежутка.
1. На сегменте $[0 , 4]$ построим сетку $n=2, h=2$.
2. Этап замены интегрального уравнения квадратурной суммой. В итоге получаем СЛАУ на $z_{i}(t)$.
Для $n=2$ система примет вид ($t_{1}=2, t_{2}=4, \tau_{1}=1, \tau_{2}=3$):

$\begin{cases} hK(t_{1}, \tau_{1})z_(t_1)=\int_0^1{\frac{1.75-(\tau-2)^3}\sqrt{(2 - \tau)^3}}d\tau, \\ hK(t_{2}, \tau_{1})z_(t_1)+hK(t_{2}, \tau_{2})z_(t_2)=\int_0^3{\frac{1.75-(\tau-2)^3}\sqrt{(4 - \tau)^3}}d\tau; \end{cases}$

На этом я остановился. Меня очень смущает такой способ приближения функции. Другими словами верно ли составлена система? Можно ли так менять пределы интегрирования, ведь в исходном интеграле верхний предел есть t, а сам интеграл есть функция от t. Проблема в нахождении правых частей. Знаю что "прямая задача" нахождения правых частей в этом случае решается через преобразование Лапласа, но хотелось бы обойтись чем-то более простым.

Функция приближаласть таким образом по совету преподавателя, но сомнения меня грызут :)

[mserg]

PATIfon в сообщении #725081 писал(а):

Рассмотрим задачу восстановления электрического импульсного сигнала $z(t)$, зависящего от времени, поданного на вход коаксиального кабеля длины $l$ , по выходному сигналу $u(t)$. Связь между $z(t)$ и $u(t)$ дается отношением $\int_0^tK(t-\tau)d\tau=u(t)$, в котором $K(t)=\eta(t)\frac{\mu l}{\sqrt{4 \pi t^3\mathstrut}}\exp (- \frac{\mu^2 l^2}{4l}),$ где $\mu$ - константа, характеризующая тип кабеля, $\eta(t)$ - единичная функция. Возьмем в качестве $\mu=3.05\cdot10^{-4}, l=10^{4}$.

А почему в отношении, связывающих $z(t)$ и $u(t)$ буква z не наблюдается?

[Pavia]

PATIfon
У вас в функции ошибка.
$K(t)=\eta(t)\frac{\mu l}{\sqrt{4 \pi t^3\mathstrut}}\exp (- \frac{\mu^2 l^2}{4l}),$
Там t должна быть в экспоненте.
$K(t)=\eta(t)\frac{\mu l}{\sqrt{4 \pi t^3\mathstrut}}\exp (- \frac{\mu^2 l^2}{4t}),$

[PATIfon]

mserg, да, я ошибся, Спасибо. Связь между $z(t)$ и $u(t)$ задается отношением $\int_0^t K(t - \tau)z(\tau)d\tau=u(t).

Pavia, и вы тоже правы. Только вот вопросы остались... Интеграл примет немного другой вид, а как его корректно приблизить и составить СЛАУ я все также не понимаю.

[mserg]

По-моему, подстановка в «метод прямоугольников» должна давать следующее.
Ну, во-первых первый интеграл должен иметь пределы от 0 до 2; второй от 2 до 4.
Во-вторых, у Вас две сетки: одна по времени t, другая по «тау» («внутри» интегралов). Каждая точка сетки по тау лежит посредине двух соседних точек сетки t. Функция z аппроксимируется на сетке «тау». А у Вас функция z почему то вдруг оказывается на сетке t.

Если хочется, чтобы сетка была одна, а не две, то тогда нужно бы (если это здесь уместно) аппроксимировать не прямоугольниками, а трапециями.

Ну, и потом, сигнал z у Вас «импульсный». Непонятно, накладывает ли это какие-нибудь ограничения на z. Если накладывает, то это может привести к противоречивой задаче – в этом, видимо, ее «некорректность».

[PATIfon]

mserg, на счет аппроксимации $z(t)$ на сетке $\tau$ я согласен, а про промежутки интегрирования...я думаю вы хотели все таки сказать что в первом уравнении системы правая часть вычисляется на [0, 2], а во втором на [0, 4], ведь нижний предел интегрирования неизменен. И я согласен что верхние пределы это 2 и 4, а не 1 и 3, но в этом случае решить прямую задачу не представляется возможным, потому что в имеет место особенность в знаменателе и под экспонентой при $\tau=t$. Или я все еще чего-то не понимаю.

Если вас не затруднит, напишите системы с сетками в случае аппроксимации методом средних прямоугольников и методом трапеций. Две системы. Заранее благодарю что помогаете разобраться.