Нестандартные задачи

[sergey1]

2 arcady
По-моему все верно. Уточните пожалуйста что именно Вы считаете неправильным.

[arqady]

sergey1 писал(а):

2 arcady
По-моему все верно. Уточните пожалуйста что именно Вы считаете неправильным.

Неверно вот это:

sergey1 писал(а):

.

Пусть $f(a)=\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}- \frac{1}{2}$ , тогда
$f'(a)= \frac{1}{b^2+5}-\frac{2ac}{(a^2+5)^2}$ .

Ведь b и c зависят от a

[juna]

Ну тады может вот так:
$\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}=\frac{3}{5}-\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{5^2}+\frac{a^4c+b^4a+c^4b}{5^3}-$ $\frac{a^6c+b^6a+c^6b}{5^4}+\frac{a^8c+b^8a+c^8b}{5^5}-...$ - раскладываем в ряд.
$\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}=\frac{3}{5}+\frac{a^2c(a^2-5)+b^2a(b^2-5)+c^2b(c^2-5)}{5^3}+$ $\frac{a^6c(a^2-5)+b^6a(b^2-5)+c^6b(c^2-5)}{5^5}+...$ - группируем соседние члены.
Ясно, что минимум будет достигаться, когда слагаемые отрицательны. Самое первое слагаемое вносит больший вклад, поэтому в виду однородности членов можно ограничиться рассмотрением первого. Решаем $a^2c(a^2-5)+b^2a(b^2-5)+c^2b(c^2-5)\to\min\text{ при } a+b+c=3$ - и, по-моему, очевидно, что минимум достигается при $a=b=c=1$.

[sergey1]

2 arcady
Вас невозможно понять. Вы цитируете две мои записи и утверждаете, что ЭТО неверно.
Но первая из них в принципе не может быть неверной, т.к. она является обозначением. Я просто НАЗЫВАЮ функцией f(a) сумму трех дробей. Вторая запись - это нахождение производной.Здесь тоже вроде все правильно.Так что же такое это Ваше ЭТО, которое неправильно?
Может Вас смущает, что одна из неизвестных объявлена переменной, а две другие параметрами и Вы думаете, что так делать нельзя? Тогда напишите чему это противоречит.
Или может Вам кажется, что я не использую равенство a+b+c=3?
Использую два раза. Первый раз, когда доказываю, что f'(a)>=0 (в посте этого нет в силу очевидности рассуждений), вторй - когда при a=1 объявляю, что b+c=2.
Я повтопряю свой вопрос из предыдущего поста: "Уточните пожалуйста что именно Вы считаете неправильным."

[arqady]

sergey1 писал(а):

2 arcady
Вас невозможно понять.

Если очень хочется, то можно!

sergey1 писал(а):

Вы цитируете две мои записи и утверждаете, что ЭТО неверно.
Но первая из них в принципе не может быть неверной, т.к. она является обозначением. Я просто НАЗЫВАЮ функцией f(a) сумму трех дробей. Вторая запись - это нахождение производной.Здесь тоже вроде все правильно.Так что же такое это Ваше ЭТО, которое неправильно?

Написано было следующее:

sergey1 писал(а):

Пусть $f(a)=\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}- \frac{1}{2}$ , тогда
$f'(a)= \frac{1}{b^2+5}-\frac{2ac}{(a^2+5)^2}$ .

Это высказывание по структуре является импликацией $A\Rightarrow B.$
Импликация неверна только в одном случае, когда посылка ( A ) истинна, а заключение ( B ) ложно.
"Это" - это ваше высказывание. То, что оно неверно означает, что B неверно, то есть вы неправильно посчитали производную.
То бишь неверно, что $f'(a)= \frac{1}{b^2+5}-\frac{2ac}{(a^2+5)^2}$

sergey1 писал(а):

Может Вас смущает, что одна из неизвестных объявлена переменной, а две другие параметрами и Вы думаете, что так делать нельзя? Тогда напишите чему это противоречит.

Так я и написал. Вот так:

arqady писал(а):

sergey1 писал(а):

2 arcady
По-моему все верно. Уточните пожалуйста что именно Вы считаете неправильным.

Неверно вот это:

sergey1 писал(а):

.

Пусть $f(a)=\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}- \frac{1}{2}$ , тогда
$f'(a)= \frac{1}{b^2+5}-\frac{2ac}{(a^2+5)^2}$ .

Ведь b и c зависят от a

Вы не можете объявить b и c параметрами, поскольку они зависят от a.
Вы обязаны дифференцировать их по a, что сильно усложняет производную.

sergey1 писал(а):

Или может Вам кажется, что я не использую равенство a+b+c=3?

Вот вот, вы его не используете ( точнее, игнорируете ) в самом что ни на есть жизненно необходимом для нашего неравенства месте. Это и является ошибкой, которая рушит всё ваше рассуждение.

Добавлено спустя 20 минут 35 секунд:

С помощью вашего "метода", sergey1, можно "доказывать" удивительные вещи.
Проверьте, может это вас убедит:
Пусть a и b неотрицательные числа такие, что $a^2+b^2=2.$ Докажите, что $a+b\geq2.$
Между тем, очевидно, существуют такие a и b, что $a+b<2.$

[sergey1]

2 arcady
1. Попробую решить вашу задачу своим способом.
РЕШЕНИЕ
Будем считать а переменной, а b параметром.
Пусть $f(a)=a+b-2$, тогда $f'(a)=1>0$, значит, функция f(a) возрастает.
Найдем ее значение при наименьшем а.
$f(0)=0+\sqrt2-2$ это меньше 0 , отсюда видно что эту "удивительную вещь" моим способом не доказать.

Попробуем теперь изменить доказываемое неравенство на такое: $a+b-\sqrt2>=0 $

РЕШЕНИЕ
Будем считать а переменной, а b параметром.
Пусть $f(a)=a+b-\sqrt2$, тогда $f'(a)=1>0$, значит, функция f(a) возрастает.
Найдем ее значение при наименьшем а.
$f(0)=0+\sqrt2-\sqrt2=0$
Значит, f(a) возрастает и при наименьшем возможном а равна 0, поэтому она неотрицательна при всех возможных значениях ПЕРЕМЕННОЙ а и ПАРАМЕТРА b.
Задача решена.
Продумайте вот что: мы получили, что при ЛЮБЫХ допустимых значениях параметра b функция f(a) неотрицательна, т.е. ее график выше или касается оси абсцисс при всех возможных значениях ПЕРЕМЕННОЙ а и ПАРАМЕТРА b.

2. Идея считать некоторые неизвестные переменными, а другие параметрами законна. Когда Вы будете изучать функции нескольких переменных, Вас познакомят с понятием "Частной производной по одному из аргументов" -наиболее ярким примером использования этой идеи.
Есть и другие, например
Доказать неравенство $a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca$
Будем считать а переменной, b и c параметрами, тогда имеем квадратный трехчлен $a^2-a(b+c)+b^2+c^2-bc$
Его дискриминант равен $D=(b+c)^2-4(b^2+c^2-bc)=-3(b-c)^2<=0$. Значит, при любых значениях параметров b и c параболы будут находиться в "верхней" полуплоскости относительно оси абсцисс, что и требовалось.
3. Раз уж b и c объявлены параметрами, то и обходиться с ними надо соответствующим образом - т.е. как с числами (например их можно выносить за знак производной, если они являются сомножителями и т.п.). И от а они не ЗАВИСЯТ, они с а СВЯЗАНЫ соотношением.

[juna]

sergey1
Вы неправы. Чтобы дифференцировать по параметрам, переменные должны быть независимы, т.е. изменение значения одной из них никак не ограничивает изменения другой.
argady
Why no comments? If my solution is true then i want to see author's solution.

[sergey1]

2 Артамонов Ю.Н.
Я дифференцирую не по параметрам, а по переменной а, b и c пока совершенно произвольны. Получаю результат для функции f(a). Потом вспоминаю про зависимость a+b+c=3 и показываю, что в этом случае f'(a)>=0 (про этот шаг я написал, что он очевиден). Отсюда заключаю, что при допустимых значениях a,b,c f(a) неубывающая.
Чего я недоглядел?

[juna]

sergey1 писал(а):

...Потом вспоминаю про зависимость a+b+c=3 ...
Чего я недоглядел?

Нельзя потом, надо сразу это учитывать. Вот сложную функцию вы как дифференцируете.
Например, $\frac{x}{x^2+1}$. Разве я могу принять $\frac{1}{x^2+1}$ за параметр, а потом вдруг вспомнить...

[sergey1]

2 Артамонов Ю.Н.
Ваш пример не убеждает. Если Вы введете параметр как описали, то при взятии производной не будете знать что такое х - переменная или постоянная.

[arqady]

sergey1 писал(а):

2 arcady
1. Попробую решить вашу задачу своим способом.
РЕШЕНИЕ
Будем считать а переменной, а b параметром.
Пусть $f(a)=a+b-2$, тогда $f'(a)=1>0$, значит, функция f(a) возрастает.
Найдем ее значение при наименьшем а.
$f(0)=0+\sqrt2-2$ это меньше 0 , отсюда видно что эту "удивительную вещь" моим способом не доказать.

sergey1, в вашем "методе" сначала надо предположить, что $a\geq b.$
Тогда $a\geq1$ и всё "доказывается".
Получается, что я лучше вас овладел вашим "методом".

Артамонов Ю.Н. писал(а):

argady
Why no comments? If my solution is true then i want to see author's solution.

I think, your proof is delirium ( I am sorry ) .Much greater delirium, than the sergey1's proof.

Добавлено спустя 13 минут 54 секунды:

sergey1 писал(а):

...Потом вспоминаю про зависимость a+b+c=3 ...
Чего я недоглядел?

sergey1, в математике, как в жизни: нельзя белое назвать чёрным, когда захочу, а затем вспомнить и назвать его белым, когда захочу. Жизнь за это в конце концов наказыват. Белое оно - белое, а чёрное - чёрное.
Математика же наказывает сразу.
Нельзя число 2 назвать числом 3. Это ложь в любом случае. Из-за этого любое рассуждение, которое последует за этим предположением, бессмысленно.

b и c зависят от a. Вы не можете это проигнорировать.

[sergey1]

я этого не могу предположить, т.к. из условия $a^2+b^2=2$ это не следует. А вот из условия a+b+c=3 следует, что одно из слагаемых больше или равно 1.

[juna]

Укажите ошибку.

[sergey1]

То, что наибольшее из чисел a,b,c не меньше 1 я доказал и этим пользуюсь.

а ошибка состоит в недоказанном предположении a>=1 при $a^2+b^2=2$

[arqady]

sergey1 писал(а):

я этого не могу предположить, т.к. из условия $a^2+b^2=2$ это не следует.

Как же так? Не верь глазам своим?
Ведь и условие и то, что необходимо доказать, не меняются относительно перестановки a и b.
Поэтому можно предположить, что $a\geq b.$