Нулевой и бесконечный радиусы сходимости степенных рядов

[Ktina]

Может ли радиус сходимости степенного ряда быть нулевым? А бесконечным?

Примеры с факториалом напрашиваются сами:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}n!x^n$$

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

По ходу дела возникли три вопроса:

1. Существует ли пример, не использующий факториал?
2. Факториал, вроде, не маклоренится. Или таки да?
3. А ведь $0^0$, вообще-то, не определено. Тогда чему равен первый член такого ряда при $x=0$?

[ИСН]

Возьмите $n^n$ и не используйте факториал, делов-то.
Второго вопроса не понял.
Над третьим думать не надо.

[provincialka]

1. Даже если и не в точности факториал, то что-то весьма быстро растущее.
2. ?? В смысле? Ряд Маклорена строится для функции, а не наоборот. Впрочем, второй пример - это разложение экспоненты.
3. Да, верно, если показатель и основание - переменные бесконечно малые величины. Здесь же степень константа (в каждом слагаемом), так что ничто не мешает считать, что $0^0=1$. Просто ради удобства записи.

[Ktina]

ИСН в сообщении #726121 писал(а):

Второго вопроса не понял.

Те два ряда, что я написала, не будут ведь рядами Маклорена?

-- 20.05.2013, 10:40 --

provincialka в сообщении #726122 писал(а):

2. ?? В смысле? Ряд Маклорена строится для функции, а не наоборот. Впрочем, второй пример - это разложение экспоненты.

Да, насчёт второго уже заметила, спасибо. А первый?

-- 20.05.2013, 10:41 --

provincialka в сообщении #726122 писал(а):

3. Да, верно, если показатель и основание - переменные бесконечно малые величины. Здесь же степень константа (в каждом слагаемом), так что ничто не мешает считать, что $0^0=1$. Просто ради удобства записи.

А почему именно 1, а не 0? Ведь 0 в любой степени будет 0.

[ИСН]

Ktina в сообщении #726124 писал(а):

Те два ряда, что я написала, не будут ведь рядами Маклорена?

Второй - будет, и от довольно известной функции. С первым вопрос философский. Как строят ряд М. для функции? Находят её производные в точке. Есть ли функция с такими производными в одной точке? Есть. Её ли это ряд? Ну а чей же ещё. Сходится ли он к ней? Увы. Так тогда каким боком это "её" ряд? Но а производные-то вот они.

[ewert]

Ktina в сообщении #726118 писал(а):

1. Существует ли пример, не использующий факториал?

Если Вы знаете про радиус сходимости, то должны знать и то, что это понятие основывается на сравнении с геометрической прогрессией. Отсюда и вывод: чтобы радиус был нулём/бесконечностью, надо, чтобы коэффициенты убывали/росли быстрее любой геометрической прогрессии. Можете ли Вы сочинить что-нибудь, растущее быстрее $e^n$, не используя факториала?...

provincialka в сообщении #726122 писал(а):

Здесь же степень константа (в каждом слагаемом), так что ничто не мешает считать, что $0^0=1$. Просто ради удобства записи.

Дело не в том, что она константа, а в том, что она целая. И считают по определению вовсе не $0^0=1$, а $x^0\equiv1$.

[Ktina]

ИСН в сообщении #726128 писал(а):

Второй - будет, и от довольно известной функции. С первым вопрос философский. Как строят ряд М. для функции?

Да, да, это я сглупила. А provincialka уже подсказала.

(Оффтоп)

Вовочка тоже дворника дядю Петю не узнал, взглянув на портрет Карла Маркса.

-- 20.05.2013, 10:49 --

ewert в сообщении #726130 писал(а):

Можете ли Вы сочинить что-нибудь, растущее быстрее $e^n$, не используя факториала?...

Ну если выпендриться, то функция Аккермана.